Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2024 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 2 (bloque A). Calcula

a

b

sabiendo que

\lim_{x\to 0} \frac{a\bigl(\ln(1+x) - x\bigr) + b\bigl(e^{x}-1\bigr) + 1 - \cos(x)}{\operatorname{sen}^{2}(x)} = 5

donde

\ln

denota la función logaritmo neperiano.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;a = -9 \qquad\qquad b = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El denominador,

\operatorname{sen}^{2}(x)

, es un infinitésimo de orden 2 (se comporta como

x^{2}

). Así que la estrategia es contar órdenes en el numerador:

$\ln(1+x) - x$ es de orden $2$ (el término en $x$ se cancela solo);
$e^{x}-1$ es de orden 1;
$1-\cos(x)$ es de orden $2$ .

El único sumando de orden

1

es el de

b

, así que para que el límite sea finito hace falta

b=0

. Con eso, todo el numerador es de orden

2

y el límite es el cociente de los coeficientes de

x^{2}

, que se iguala a

5

para despejar

a

.

Lo hago con L'Hôpital (que es lo esperable en el examen) y lo compruebo con desarrollos de Taylor.

Desarrollo

Llamemos

N(x)

al numerador y

D(x) = \operatorname{sen}^{2}(x)

.

Paso 1: la indeterminación.

N(0) = a\bigl(\ln 1 - 0\bigr) + b\bigl(e^{0}-1\bigr) + 1 - \cos 0 = 0 + 0 + 0 = 0, \qquad D(0) = 0

\frac{0}{0}

para cualesquiera

a

b

: hay que ir más allá.

Paso 2: primera derivación (L'Hôpital).

N'(x) = a\left(\frac{1}{1+x} - 1\right) + b\,e^{x} + \operatorname{sen}(x)

D'(x) = 2\operatorname{sen}(x)\cos(x) = \operatorname{sen}(2x)

Evaluando en

x=0

N'(0) = a\,(1-1) + b + 0 = b, \qquad D'(0) = 0

Paso 3: condición sobre $b$ . Si

b \neq 0

, el cociente

\frac{N'}{D'}

tendría numerador tendiendo a

b \neq 0

y denominador tendiendo a

0

: el límite sería infinito, no

5

. Por tanto

b = 0

Paso 4: segunda derivación. Con

b=0

seguimos en

\frac{0}{0}

, así que derivamos otra vez:

N''(x) = a\left(-\frac{1}{(1+x)^{2}}\right) + \cos(x) \;\Longrightarrow\; N''(0) = -a + 1

D''(x) = 2\cos(2x) \;\Longrightarrow\; D''(0) = 2

Paso 5: condición sobre $a$ .

\lim_{x\to 0}\frac{N''(x)}{D''(x)} = \frac{1-a}{2} = 5 \;\Longrightarrow\; 1 - a = 10 \;\Longrightarrow\; a = -9

Comprobación con desarrollos de Taylor. Usando

\ln(1+x) - x = -\frac{x^{2}}{2} + \cdots, \qquad e^{x}-1 = x + \frac{x^{2}}{2} + \cdots, \qquad 1-\cos x = \frac{x^{2}}{2} + \cdots

N(x) = b\,x + \left(-\frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{1}{2}\right)x^{2} + \cdots, \qquad D(x) = \operatorname{sen}^{2}x = x^{2} + \cdots

El denominador es de orden

2

, luego el término en

x

del numerador debe anularse:

b=0

. Y entonces

\lim_{x\to 0} \frac{\left(\frac{1-a}{2}\right)x^{2}}{x^{2}} = \frac{1-a}{2} = 5 \;\Longrightarrow\; a = -9

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El truco es reconocer el orden de cada infinitésimo. Los paréntesis del enunciado no son decorativos: $\ln(1+x) - x$ es de orden $2$ (por eso le restan la $x$ ), mientras que $e^{x}-1$ es de orden $1$ . Ese desequilibrio es lo que fuerza $b=0$ .

Y ojo al derivar $\operatorname{sen}^{2}(x)$ : la derivada es $2\operatorname{sen} x\cos x$ , no $2\operatorname{sen} x$ . Escribirla como $\operatorname{sen}(2x)$ hace la segunda derivada ( $2\cos 2x$ ) mucho más cómoda y evita el error de derivar un producto de tres factores.