Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] De entre todos los triángulos rectángulos de área 8 cm^{2}, determina las dimensiones del que tiene la hipotenusa de menor longitud.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2014 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] De entre todos los triángulos rectángulos de área

8

^{2}

, determina las dimensiones del que tiene la hipotenusa de menor longitud.

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Resultado

\boxed{\;\frac{xy}{2} = 8 \;\Longrightarrow\; y = \frac{16}{x}; \qquad h^{2} = x^{2}+\frac{256}{x^{2}}\;}

\boxed{\;H'(x) = 2x-\frac{512}{x^{3}} = 0 \;\Longrightarrow\; x^{4} = 256 \;\Longrightarrow\; x = 4\;}

\boxed{\;\text{Catetos } 4 \text{ y } 4 \ \text{cm (isósceles)}; \qquad h_{\min} = 4\sqrt2 \approx 5{,}66 \ \text{cm}\;}

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Estrategia

Llamamos

x

y

a los catetos. La restricción es el área y lo que se minimiza es la hipotenusa:

\frac{x\,y}{2} = 8 \;\Longrightarrow\; y = \frac{16}{x} \qquad\qquad h = \sqrt{x^{2}+y^{2}}

Truco esencial: en lugar de minimizar

h

, se minimiza

h^{2}

. Como la raíz cuadrada es creciente, el mínimo se alcanza en el mismo punto, y así se evita derivar una raíz.

Desarrollo

Variables y restricción. Catetos

x>0

y>0

\frac{x\,y}{2} = 8 \;\Longrightarrow\; x\,y = 16 \;\Longrightarrow\; y = \frac{16}{x}

La función a minimizar. Por el teorema de Pitágoras:

h^{2} = x^{2}+y^{2} = x^{2}+\frac{256}{x^{2}}

Llamemos

H(x) = h^{2}

; minimizar

H

equivale a minimizar

h

.

Derivada y punto crítico.

H'(x) = 2x-\frac{512}{x^{3}} = 0 \;\Longrightarrow\; 2x^{4} = 512 \;\Longrightarrow\; x^{4} = 256

x = 4 \ \text{cm} \qquad (\text{se descarta } x=-4 \text{ por ser una longitud})

Es mínimo.

H''(x) = 2+\frac{1536}{x^{4}} > 0 \quad \text{para } x>0 \;\Longrightarrow\; \textbf{mínimo}

El otro cateto.

y = \frac{16}{4} = 4 \ \text{cm}

\textbf{El triángulo es isósceles: catetos de } 4 \ \text{cm}

La hipotenusa.

h = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt2 \approx 5{,}66 \ \text{cm}

Comprobación del área.

\;\dfrac{4\cdot4}{2} = 8

^{2}

\;\checkmark

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Consejo

Minimiza $h^{2}$ , no $h$ . La raíz es creciente, así que el mínimo cae en el mismo punto, y derivar $x^{2}+\frac{256}{x^{2}}$ es muchísimo más cómodo que derivar la raíz. Es el truco estándar en problemas de distancias.

De $x^{4} = 256$ salen cuatro raíces (dos reales, $\pm4$ ). Descarta la negativa justificando que es una longitud; solo eso ya vale décimas.

Que el óptimo sea el triángulo isósceles es el patrón esperable en este tipo de problemas. Si te sale otra cosa, revisa la derivada antes de seguir.