Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2009 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. Sea

f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

la función definida por

\;f(x) = x\,|x-1|

.

a) [0,5 puntos] Esboza la gráfica de

f

.

b) [0,75 puntos] Comprueba que la recta de ecuación

\;y = x\;

es la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 0

.

c) [1,25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de

f

y la de dicha tangente.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(x) = \begin{cases} x-x^{2} & x\leq1 \\ x^{2}-x & x>1\end{cases}\;}

\boxed{\;f(0) = 0, \ f'(0) = 1 \;\Longrightarrow\; \text{tangente } y = x \;\checkmark\;}

\boxed{\;\text{Cortes con } y=x: \ x = 0 \text{ (doble)} \text{ y } x = 2; \ \text{la recta va arriba}\;}

\boxed{\;A = \int_{0}^{1}x^{2}dx+\int_{1}^{2}\bigl(2x-x^{2}\bigr)dx = \frac13+\frac23 = 1 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El valor absoluto parte la función en

x = 1

f(x) = \begin{cases} x\,(1-x) = x-x^{2} & \text{si } x\leq1 \\ x\,(x-1) = x^{2}-x & \text{si } x>1\end{cases}

Para el área, hay que localizar dónde se cortan la gráfica y la recta

y=x

en cada tramo:

en el primero, $x-x^{2} = x$ da $x = 0$ doble (tangencia),
en el segundo, $x^{2}-x = x$ da $x = 2$ .

Así que el recinto va de

x=0

x=2

y hay que partir la integral en

x=1

Desarrollo

a) La gráfica.

Tramo $x\leq1$ :

\;f(x) = x-x^{2} = x(1-x)

, parábola de ramas hacia abajo, cortes en

x=0

x=1

, vértice en

\left(\frac12,\frac14\right)

.

Tramo $x>1$ :

\;f(x) = x^{2}-x = x(x-1)

, parábola de ramas hacia arriba, creciente a partir de

x=1

.

En

x=1

las dos ramas valen

0

: la función es continua, con un "pico" en

(1,0)

.

b) La tangente en $x = 0$ . Como

0<1

, usamos el primer tramo:

f(0) = 0 \qquad f'(x) = 1-2x \;\Longrightarrow\; f'(0) = 1

y-0 = 1\,(x-0) \;\Longrightarrow\; y = x \;\checkmark

c) El área. Los cortes entre

f

y la recta

y = x

:

En $x\leq1$ :

\;x-x^{2} = x \Longrightarrow -x^{2} = 0 \Longrightarrow x = 0

(doble: tangencia).

En $x>1$ :

\;x^{2}-x = x \Longrightarrow x^{2}-2x = 0 \Longrightarrow x(x-2) = 0 \Longrightarrow x = 2

.

¿Quién va arriba? En

x = \frac12

: la recta vale

\frac12

f\left(\frac12\right) = \frac14

. La recta está por encima (y lo sigue estando hasta

x=2

).

La integral, partida en $x=1$ .

A = \int_{0}^{1}\Bigl[x-\bigl(x-x^{2}\bigr)\Bigr]dx+\int_{1}^{2}\Bigl[x-\bigl(x^{2}-x\bigr)\Bigr]dx

= \int_{0}^{1}x^{2}\,dx+\int_{1}^{2}\bigl(2x-x^{2}\bigr)dx

Primer trozo.

\int_{0}^{1}x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac13

Segundo trozo.

\int_{1}^{2}\bigl(2x-x^{2}\bigr)dx = \left[x^{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{2} = \left(4-\frac83\right)-\left(1-\frac13\right) = \frac43-\frac23 = \frac23

El área total.

A = \frac13+\frac23 = 1 \ \text{u}^{2}

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Consejo

Con valor absoluto, parte la función antes de nada. Y ojo: el punto de tangencia ( $x=0$ ) está en el primer tramo, así que la derivada de b) se calcula ahí.

El corte $x=0$ es doble (tangencia) y el corte $x=2$ es simple (cruce). Por eso el recinto está acotado justo entre esos dos valores.

Hay que partir la integral en $x=1$ , aunque la recta esté por encima en todo el intervalo: la expresión de $f$ cambia ahí. Integrar de $0$ a $2$ con una sola fórmula da un resultado falso.