Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2014 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Calcula

\int_{-1}^{1}\ln(4-x)\,dx \qquad (\ln \text{ denota el logaritmo neperiano})

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;w = 4-x, \ dx = -dw: \quad \int\ln(4-x)dx = -\int\ln w\,dw = -w\ln w+w\;}

\boxed{\;F(x) = -(4-x)\ln(4-x)+(4-x)\;}

\boxed{\;F(1) = -3\ln3+3, \qquad F(-1) = -5\ln5+5\;}

\boxed{\;\int_{-1}^{1}\ln(4-x)\,dx = 5\ln5-3\ln3-2 \approx 2{,}75\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Primitiva de un logaritmo compuesto. Dos vías equivalentes:

Por partes, con $u = \ln(4-x)$ y $dv = dx$ .
Cambio de variable $w = 4-x$ (que da $dw = -dx$ ) y usar $\int\ln w\,dw = w\ln w-w$ .

La segunda es más rápida y menos propensa a errores de signo. En cualquier caso, la primitiva es

\int\ln(4-x)\,dx = -(4-x)\ln(4-x)+(4-x)

(El intervalo $[-1,1]$ está dentro del dominio: $4-x>0$ para $x<4$ , así que no hay problemas.)

Desarrollo

El cambio de variable.

w = 4-x \;\Longrightarrow\; dw = -dx \;\Longrightarrow\; dx = -dw

\int\ln(4-x)\,dx = -\int\ln w\,dw = -\bigl(w\ln w-w\bigr) = -w\ln w+w

Deshaciendo el cambio.

F(x) = -(4-x)\ln(4-x)+(4-x)

Comprobación (derivando).

F'(x) = \ln(4-x)+(4-x)\cdot\frac{1}{4-x}-1 = \ln(4-x)+1-1 = \ln(4-x) \;\checkmark

Regla de Barrow. En

x = 1

(donde

4-x = 3

F(1) = -3\ln 3+3

x = -1

(donde

4-x = 5

F(-1) = -5\ln 5+5

El resultado.

\int_{-1}^{1}\ln(4-x)\,dx = \bigl(-3\ln3+3\bigr)-\bigl(-5\ln5+5\bigr) = 5\ln 5-3\ln 3-2

\approx 5\,(1{,}6094)-3\,(1{,}0986)-2 = 8{,}047-3{,}296-2 = 2{,}75

(Es positivo, como debe ser: en $[-1,1]$ el integrando $\ln(4-x)$ está entre $\ln3\approx1{,}10$ y $\ln5\approx1{,}61$ , siempre positivo.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La primitiva de $\ln$ no es $\frac1x$ ni nada parecido: $\int\ln w\,dw = w\ln w-w$ . Es una de las que hay que tener memorizadas.

Con el cambio $w = 4-x$ aparece un signo menos en el $dx$ , que arrastra a toda la primitiva. Comprueba derivando antes de aplicar Barrow: es la forma más rápida de detectarlo.

Al sustituir, ojo con el extremo inferior: en $x=-1$ se tiene $4-(-1) = 5$ , no $3$ . Los dos valores $3$ y $5$ salen "cruzados" respecto a los límites, y confundirlos cambia el signo del resultado.