Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2013 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. Sea

f

la función definida por

f(x) = \dfrac{k}{(x-a)(2x-1)}

para

x\neq a

x\neq\dfrac12

.

a) [1 punto] Halla

a

k

sabiendo que la gráfica de

f

pasa por el punto

(0,2)

y que la recta

x = 2

es una asíntota de dicha gráfica.

b) [1,5 puntos] Para

k = 4

a = 2

, halla los extremos relativos de

f

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } x = 2 \text{ anula } x-a \;\Longrightarrow\; a = 2; \qquad f(0) = \frac k2 = 2 \Rightarrow k = 4\;}

\boxed{\;f(x) = \frac{4}{2x^{2}-5x+2}, \qquad f'(x) = \frac{4\,(5-4x)}{\bigl(2x^{2}-5x+2\bigr)^{2}}\;}

\boxed{\;\text{Crece en } \left(-\infty,\tfrac12\right)\cup\left(\tfrac12,\tfrac54\right); \ \text{decrece en } \left(\tfrac54,2\right)\cup(2,\infty)\;}

\boxed{\;\text{Máximo relativo en } \left(\tfrac54,\, -\tfrac{32}{9}\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) $x = 2$ es una recta vertical, luego es una asíntota vertical: el denominador debe anularse en $x=2$ . Como $2x-1$ no se anula ahí, tiene que ser $x-a$ , es decir, $a = 2$ . Después, $f(0) = 2$ da $k$ .
b) Derivada de un cociente. Al desarrollar el denominador queda un polinomio de grado $2$ , y el numerador de $f'$ es de grado $1$ : solo hay un punto crítico.

Ojo al estudiar el signo: hay que excluir del dominio los puntos

x=\frac12

x=2

Desarrollo

a) La asíntota vertical.

x = 2

anula el denominador. Como

2\cdot2-1 = 3\neq0

, debe ser

x-a = 0 \text{ en } x = 2 \;\Longrightarrow\; a = 2

El punto $(0,2)$ .

f(0) = \frac{k}{(0-2)(0-1)} = \frac{k}{2} = 2 \;\Longrightarrow\; k = 4

a = 2, \qquad k = 4 \qquad\Longrightarrow\qquad f(x) = \frac{4}{(x-2)(2x-1)}

b) La derivada. Desarrollando el denominador,

\;(x-2)(2x-1) = 2x^{2}-5x+2

f(x) = \frac{4}{2x^{2}-5x+2} \;\Longrightarrow\; f'(x) = \frac{-4\,(4x-5)}{\bigl(2x^{2}-5x+2\bigr)^{2}} = \frac{4\,(5-4x)}{\bigl(2x^{2}-5x+2\bigr)^{2}}

Punto crítico. El denominador es un cuadrado (positivo donde

f

está definida), así que el signo es el de

5-4x

5-4x = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{5}{4}

Signo de $f'$ , con el dominio partido por

x = \frac12

x = 2

x<\tfrac12: \; f'>0 \;\Rightarrow\; \textbf{crece} \qquad \tfrac12<x<\tfrac54: \; f'>0 \;\Rightarrow\; \textbf{crece}

\tfrac54<x<2: \; f'<0 \;\Rightarrow\; \textbf{decrece} \qquad x>2: \; f'<0 \;\Rightarrow\; \textbf{decrece}

\text{Crece en } \left(-\infty,\tfrac12\right)\cup\left(\tfrac12,\tfrac54\right) \qquad \text{Decrece en } \left(\tfrac54,2\right)\cup\bigl(2,+\infty\bigr)

El extremo. En

x=\frac54

la derivada pasa de positiva a negativa: máximo relativo.

f\!\left(\frac54\right) = \frac{4}{\left(\frac54-2\right)\left(\frac52-1\right)} = \frac{4}{\left(-\frac34\right)\left(\frac32\right)} = \frac{4}{-\frac98} = -\frac{32}{9} \approx -3{,}56

\textbf{Máximo relativo en } \left(\frac54,\; -\frac{32}{9}\right)

(Es un máximo aunque el valor sea negativo: en el tramo $\left(\frac12,2\right)$ la función es negativa y $-\frac{32}{9}$ es su valor más alto.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

$x = 2$ es una recta vertical: es asíntota vertical, no horizontal ni oblicua. Y como $2x-1$ no se anula en $2$ , el factor culpable solo puede ser $x-a$ .

Al estudiar el signo de $f'$ , excluye del dominio $x=\frac12$ y $x=2$ . Aunque $f'$ no cambie de signo al cruzarlos, la función "salta" y los intervalos deben partirse ahí.

Que el máximo tenga valor negativo no es contradictorio: en ese tramo $f<0$ y $-\frac{32}{9}$ es lo más alto que alcanza. "Máximo" es una propiedad local, no significa "positivo".