Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2021 · Junio

Enunciado

Ejercicio 1 (bloque A). Se sabe que la gráfica de la función

f

definida por

f(x) = \frac{ax^{2} + bx + 2}{x - 1}

(para

x \neq 1

) tiene una asíntota oblicua que pasa por el punto

(1,1)

y tiene pendiente

2

. Calcula

a

b

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(x) = ax + (a+b) + \frac{a+b+2}{x-1}, \qquad \text{asíntota } y = 2x - 1\;}

\boxed{\;a = 2, \qquad b = -3\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Dos datos sobre la asíntota oblicua y dos incógnitas. El camino más corto es dividir los polinomios: al hacerlo, el cociente es la asíntota, y sus coeficientes salen en función de

a

b

sin necesidad de calcular ningún límite.

Primero conviene escribir la asíntota a partir de los datos: con pendiente

2

y pasando por

(1,1)

, la recta es

y = 2x + n

con

1 = 2 + n

, es decir

n = -1

.

Al final hay que hacer una comprobación que se olvida a menudo: que el resto de la división no se anule. Si se anulara, la fracción se simplificaría a una recta y no habría asíntota oblicua, sino una discontinuidad evitable.

Desarrollo

La asíntota. Una recta de pendiente

2

tiene la forma

y = 2x + n

. Imponiendo que pase por

(1,1)

1 = 2\cdot 1 + n \;\Longrightarrow\; n = -1

\text{Asíntota oblicua: } y = 2x - 1

División de polinomios. Dividimos

ax^{2} + bx + 2

entre

x - 1

ax^{2} + bx + 2 = (x-1)\bigl(ax + (a+b)\bigr) + \bigl(a + b + 2\bigr)

(Comprobación del desarrollo: $(x-1)(ax + a + b) = ax^{2} + (a+b)x - ax - (a+b) = ax^{2} + bx - (a+b)$ , y sumando el resto $a+b+2$ se recupera $ax^{2}+bx+2$ .)

Por tanto

f(x) = ax + (a + b) + \frac{a + b + 2}{x - 1}

Como el último sumando tiende a

0

cuando

x \to \pm\infty

, la asíntota oblicua es

y = ax + (a + b)

Identificación de coeficientes.

\begin{cases} a = 2 & \text{(la pendiente)} \\ a + b = -1 & \text{(la ordenada en el origen)} \end{cases}

a = 2, \qquad b = -1 - a = -3

Comprobación de que la asíntota existe de verdad. El resto de la división vale

a + b + 2 = 2 - 3 + 2 = 1 \neq 0

Al no anularse, la fracción no se simplifica y la asíntota oblicua es real. La función es

f(x) = \frac{2x^{2} - 3x + 2}{x - 1} = 2x - 1 + \frac{1}{x - 1}

y la gráfica se acerca a

y = 2x-1

por encima cuando

x \to +\infty

y por debajo cuando

x \to -\infty

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para la asíntota oblicua de una racional con el numerador de grado uno más que el denominador, divide: el cociente es la asíntota. Calcular $m = \lim f(x)/x$ y $n = \lim (f(x) - mx)$ también funciona, pero con parámetros dentro son dos límites engorrosos y la división te da los dos coeficientes de golpe.

Y comprueba que el resto no se anula. Si saliera $a+b+2 = 0$ , la fracción se simplificaría a una recta: la gráfica sería esa recta (salvo el punto $x=1$ ) y hablar de asíntota no tendría sentido. Es la verificación que cierra el ejercicio.