Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2024 · Junio

Enunciado

Ejercicio 1 (bloque A). Sea la función

f : (0,+\infty) \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = \ln(x)

, donde

\ln

denota la función logaritmo neperiano, y los puntos de su gráfica

A(1,0)

B(e,1)

.

a) [1,5 puntos] Determina, si existen, los puntos de la gráfica de

f

en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta que pasa por los puntos

A

B

.

b) [1 punto] Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de

f

en el punto

A

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) Un único punto: } \bigl(e-1,\ \ln(e-1)\bigr) \approx (1{,}72;\ 0{,}54)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad y = -x + 1 \quad (\text{equivalentemente } x + y - 1 = 0)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos apartados son la misma idea leída de dos formas. "Tangente paralela a una recta dada" significa igualar $f'(x)$ a la pendiente de esa recta, y la pendiente de

AB

se calcula con la fórmula de siempre. Como

f'(x) = \frac{1}{x}

es inyectiva en

(0,+\infty)

, saldrá un único punto.

En b) solo hay que recordar que la normal es perpendicular a la tangente: su pendiente es

-\frac{1}{f'(1)}

.

Nota de fondo: este ejercicio es en realidad el teorema del valor medio de Lagrange en acción. Nos piden el punto intermedio donde la tangente es paralela a la cuerda

AB

, y el teorema garantiza que existe porque

f

es continua en

[1,e]

y derivable en

(1,e)

Desarrollo

a) Pendiente de la recta $AB$ . Con

A(1,0)

B(e,1)

m_{AB} = \frac{1 - 0}{e - 1} = \frac{1}{e-1}

Igualamos la derivada. Como

f(x) = \ln(x)

, se tiene

f'(x) = \dfrac{1}{x}

, y la tangente es paralela a

AB

cuando

\frac{1}{x} = \frac{1}{e-1} \;\Longrightarrow\; x = e - 1 \approx 1{,}72

Ese valor pertenece al dominio

(0,+\infty)

, luego el punto existe y es único. Su ordenada:

f(e-1) = \ln(e-1) \approx 0{,}54

El punto pedido es

\bigl(e-1,\ \ln(e-1)\bigr) \approx (1{,}72;\ 0{,}54)

(Y en efecto $1 < e-1 < e$ : el punto está entre $A$ y $B$ , como anticipa el teorema del valor medio.)

b) Recta normal en $A(1,0)$ . La pendiente de la tangente ahí es

f'(1) = \frac{1}{1} = 1

luego la pendiente de la normal es

m_{N} = -\frac{1}{f'(1)} = -1

Y la recta normal, que pasa por

A(1,0)

y - 0 = -1\,(x - 1) \;\Longrightarrow\; y = -x + 1

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Paralela" es una condición sobre pendientes, no sobre puntos: la ecuación que hay que plantear es $f'(x) = m_{AB}$ . Y los criterios dan hasta $0{,}25$ puntos solo por calcular bien $m_{AB} = \frac{1}{e-1}$ , así que empieza por ahí y déjalo escrito.

En b), pendiente de la normal $= -\frac{1}{f'(1)}$ . El signo menos y la inversa se olvidan con frecuencia: media pregunta ( $0{,}5$ puntos según los criterios) depende solo de eso.