Opción A · Ejercicio 2. Considera las funciones f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} definidas por f(x) = -x^{2} - x + 3 \qquad \text{y} \qquad g(x) = |x| a) [1,25 puntos] Esboza el recinto limitado por las gráficas de f y g y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas. b) [1,25 puntos] Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2018 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. Considera las funciones

f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definidas por

f(x) = -x^{2} - x + 3 \qquad \text{y} \qquad g(x) = |x|

a) [1,25 puntos] Esboza el recinto limitado por las gráficas de

f

g

y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.

b) [1,25 puntos] Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

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Resultado

\boxed{\;g(x) = x \text{ si } x \geq 0; \qquad g(x) = -x \text{ si } x < 0\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \text{Cortes: } \bigl(-\sqrt3,\, \sqrt3\bigr) \text{ y } (1,\, 1)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad A = \int_{-\sqrt3}^{0}\bigl(3-x^{2}\bigr)dx + \int_{0}^{1}\bigl(-x^{2}-2x+3\bigr)dx = 2\sqrt3 + \frac53 \approx 5{,}13\;}

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Estrategia

El valor absoluto parte

g

en dos ramas (

g = x

x\geq 0

g = -x

x<0

), así que hay que buscar los cortes rama por rama, comprobando que cada solución cae en su intervalo.

Y como el recinto atraviesa

x = 0

—el vértice de la "V"—, la integral del apartado b) se parte en dos justo ahí.

La parábola va por encima de la "V" dentro del recinto, así que el integrando es

f - g

en ambos tramos.

Desarrollo

a) Cortes.

Rama $x \geq 0$ , con

g = x

-x^{2} - x + 3 = x \;\Longrightarrow\; x^{2} + 2x - 3 = 0 \;\Longrightarrow\; (x+3)(x-1) = 0

De las dos raíces, solo

x = 1

cumple

x\geq 0

. Punto:

(1,\, 1)

.

Rama $x < 0$ , con

g = -x

-x^{2} - x + 3 = -x \;\Longrightarrow\; x^{2} = 3 \;\Longrightarrow\; x = \pm\sqrt{3}

Solo

x = -\sqrt3 \approx -1{,}73

cumple

x < 0

. Punto:

\bigl(-\sqrt3,\; \sqrt3\bigr)

\text{Cortes: } \bigl(-\sqrt3,\, \sqrt3\bigr) \quad \text{y} \quad (1,\, 1)

El recinto.

f

es una parábola hacia abajo con vértice en

\left(-\tfrac12, \tfrac{13}{4}\right)

;

g

es la "V" con vértice en el origen. La parábola queda por encima de la V entre los dos cortes (por ejemplo, en

x=0

f(0) = 3 > 0 = g(0)

).

b) Área, partiendo en

x = 0

:

Tramo $\bigl[-\sqrt3,\, 0\bigr]$ , con

g = -x

f - g = \bigl(-x^{2}-x+3\bigr) + x = 3 - x^{2}

\int_{-\sqrt3}^{0}\bigl(3 - x^{2}\bigr)dx = \left[3x - \frac{x^{3}}{3}\right]_{-\sqrt3}^{0} = 0 - \left(-3\sqrt3 + \sqrt3\right) = 2\sqrt{3}

(Usando $(\sqrt3)^{3} = 3\sqrt3$ .)

Tramo $[0,\, 1]$ , con

g = x

f - g = -x^{2} - 2x + 3

\int_{0}^{1}\bigl(-x^{2}-2x+3\bigr)dx = \left[-\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 3x\right]_{0}^{1} = -\frac13 - 1 + 3 = \frac{5}{3}

Total.

A = 2\sqrt{3} + \frac{5}{3} \approx 3{,}464 + 1{,}667 = 5{,}13 \ \text{unidades cuadradas}

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Consejo

Los dos cortes se obtienen con ecuaciones distintas, una por rama, y hay que descartar las soluciones que no pertenecen al intervalo de su rama ( $x=-3$ y $x=+\sqrt3$ aquí). Usar una sola rama en todo $\mathbb{R}$ produce cortes que no existen.

Parte la integral en $x=0$ : aunque $g$ sea continua, su fórmula cambia ahí (y además es el pico de la V, donde no es derivable). Una única integral con $g=x$ en todo $[-\sqrt3,1]$ da un área incorrecta.

El primer tramo se simplifica mucho: al restar $g = -x$ se cancela el término lineal y queda $3 - x^{2}$ , una integral inmediata. Buscar esas simplificaciones ahorra tiempo y errores.