Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2020 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 2. Calcula

\int_{0}^{\pi} x\,\operatorname{sen}^{2}(x)\,dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\operatorname{sen}^{2}x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \;\Longrightarrow\; I = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}x\,dx - \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}x\cos 2x\,dx\;}

\boxed{\;\int_{0}^{\pi} x\operatorname{sen}^{2}(x)\,dx = \frac{\pi^{2}}{4} \approx 2{,}47\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tal cual está, la integral resiste: por partes con

u = x

dejaría

\int \operatorname{sen}^{2}x\,dx

, que a su vez pide otro truco.

El camino corto es bajar el grado del seno primero con la fórmula del ángulo doble:

\operatorname{sen}^{2}x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}

La integral se parte entonces en dos: una inmediata (

\int x\,dx

) y una por partes (

\int x\cos(2x)\,dx

), esta última mucho más amable.

Desarrollo

Reducción del cuadrado.

x\,\operatorname{sen}^{2}x = x\cdot\frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{x}{2} - \frac{x\cos(2x)}{2}

I = \int_{0}^{\pi} x\operatorname{sen}^{2}x\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} x\,dx \;-\; \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} x\cos(2x)\,dx

Primera integral.

\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} x\,dx = \frac{1}{2}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi^{2}}{2} = \frac{\pi^{2}}{4}

Segunda integral, por partes. Con

u = x

dv = \cos(2x)\,dx

du = dx, \qquad v = \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2}

\int_{0}^{\pi} x\cos(2x)\,dx = \left[\frac{x\operatorname{sen}(2x)}{2}\right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi}\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2}\,dx

El corchete se anula en los dos extremos, porque

\operatorname{sen}(2\pi) = \operatorname{sen}(0) = 0

\left[\frac{x\operatorname{sen}(2x)}{2}\right]_{0}^{\pi} = \frac{\pi\cdot 0}{2} - 0 = 0

Y la integral restante:

\int_{0}^{\pi}\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2}\,dx = \left[-\frac{\cos(2x)}{4}\right]_{0}^{\pi} = -\frac{\cos(2\pi)}{4} + \frac{\cos 0}{4} = -\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 0

Por tanto

\int_{0}^{\pi} x\cos(2x)\,dx = 0 - 0 = 0

Resultado.

I = \frac{\pi^{2}}{4} - \frac{1}{2}\cdot 0 = \frac{\pi^{2}}{4} \approx 2{,}47

Interpretación. El resultado es exactamente la mitad de

\int_{0}^{\pi} x\,dx = \pi^{2}/2

: en promedio,

\operatorname{sen}^{2}x

vale

\tfrac12

sobre un número entero de semiperiodos, y esa media se reparte de forma simétrica en

[0,\pi]

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No ataques $\operatorname{sen}^{2}x$ por partes: rebaja el cuadrado primero con $\operatorname{sen}^{2}x = \frac{1-\cos 2x}{2}$ . Es la maniobra estándar con potencias pares de seno o coseno y convierte el problema en dos integrales rutinarias.

Cuidado con el factor del ángulo doble al integrar: $\int\cos(2x)\,dx = \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2}$ y $\int\operatorname{sen}(2x)\,dx = -\frac{\cos(2x)}{2}$ . Olvidar el $\tfrac12$ es el fallo más habitual. Aquí ambos términos del segundo sumando se anulan, así que un error de factor podría pasar inadvertido… pero no en el examen siguiente.