Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2008 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. Dada la función

g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

definida por

g(x) = 2x+\bigl|x^{2}-1\bigr|

a) [1 punto] Esboza la gráfica de

g

.

b) [1,5 puntos] Calcula

\;\displaystyle\int_{0}^{2}g(x)\,dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\bigl|x^{2}-1\bigr| = \begin{cases} 1-x^{2} & |x|<1 \\ x^{2}-1 & |x|\geq1\end{cases}\;}

\boxed{\;\text{a) Decrece en } (-\infty,-1), \text{ crece en } (-1,+\infty); \ \text{mín. } (-1,-2); \ \text{picos en } x = \pm1\;}

\boxed{\;\int_{0}^{2}g = \int_{0}^{1}\bigl(2x+1-x^{2}\bigr)dx+\int_{1}^{2}\bigl(2x+x^{2}-1\bigr)dx\;}

\boxed{\;I_{1} = \left[x^{2}+x-\tfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \tfrac53; \qquad I_{2} = \left[x^{2}+\tfrac{x^{3}}{3}-x\right]_{1}^{2} = \tfrac{13}{3}\;}

\boxed{\;\int_{0}^{2}g(x)\,dx = \frac53+\frac{13}{3} = 6\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El valor absoluto cambia de expresión donde

x^{2}-1

cambia de signo, es decir, en

x = \pm1

\bigl|x^{2}-1\bigr| = \begin{cases} x^{2}-1 & \text{si } |x|\geq1 \\ 1-x^{2} & \text{si } |x|<1\end{cases}

Como el intervalo de integración es

[0,2]

, el único punto de cambio dentro es

x = 1

: hay que partir la integral ahí.

Desarrollo

a) La función a trozos.

g(x) = \begin{cases} 2x+x^{2}-1 & \text{si } x\leq-1 \\ 2x+1-x^{2} & \text{si } -1<x<1 \\ 2x+x^{2}-1 & \text{si } x\geq1\end{cases}

En $(-1,1)$ es un arco de la parábola $-x^{2}+2x+1$ , de ramas hacia abajo y vértice en $(1,2)$ , justo en el extremo del tramo: en todo $(-1,1)$ es creciente ( $g'(x) = 2-2x>0$ ).
Fuera es la parábola $x^{2}+2x-1$ , de ramas hacia arriba, con vértice en $(-1,-2)$ : decreciente para $x<-1$ y creciente para $x>1$ .

x = \pm1

la función es continua (

g(1) = 2

g(-1) = -2

) pero no derivable (picos): en

x = 1

las pendientes laterales son

0

4

, y en

x = -1

0

4

.

Puntos para el esbozo. Mínimo absoluto en

(-1,-2)

; corte con el eje

Y

(0,1)

;

g(2) = 7

. Cortes con el eje

X

x^{2}+2x-1 = 0

con

x\leq-1

x = -1-\sqrt2\approx-2{,}41

, y

-x^{2}+2x+1 = 0

con

-1<x<1

x = 1-\sqrt2\approx-0{,}41

(para

x\geq1

no hay más, porque

g\geq2

).

b) La integral, partida en $x = 1$ .

\int_{0}^{2}g(x)\,dx = \underbrace{\int_{0}^{1}\bigl(2x+1-x^{2}\bigr)dx}_{I_{1}}+\underbrace{\int_{1}^{2}\bigl(2x+x^{2}-1\bigr)dx}_{I_{2}}

Primer trozo.

I_{1} = \left[x^{2}+x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = 1+1-\frac13 = \frac{6-1}{3} = \frac53

Segundo trozo.

I_{2} = \left[x^{2}+\frac{x^{3}}{3}-x\right]_{1}^{2} = \left(4+\frac83-2\right)-\left(1+\frac13-1\right)

= \left(2+\frac83\right)-\frac13 = \frac{6+8-1}{3} = \frac{13}{3}

El total.

\int_{0}^{2}g(x)\,dx = \frac53+\frac{13}{3} = \frac{18}{3} = 6

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Consejo

El valor absoluto cambia donde se anula lo de dentro: aquí en $x = \pm1$ . Dentro de $[0,2]$ solo importa $x = 1$ , y ahí hay que partir la integral.

No hace falta calcular el área (con signos): el enunciado pide la integral, así que se suma tal cual. De hecho $g\geq0$ en $[0,2]$ , pero eso no cambia el planteamiento.

Cuidado con las dos expresiones: en $(-1,1)$ es $2x+1-x^{2}$ y fuera $2x+x^{2}-1$ . Confundirlas es el error que arruina el ejercicio.