Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2011 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Calcula la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro

8

y de área máxima.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;2l+b = 8, \quad h = \sqrt{l^{2}-\tfrac{b^{2}}{4}} = 2\sqrt{4-b}\;}

\boxed{\;A(b) = b\sqrt{4-b}, \qquad A'(b) = \frac{8-3b}{2\sqrt{4-b}}\;}

\boxed{\;A'(b) = 0 \Rightarrow b = \frac83 \quad (A' \text{ pasa de } + \text{ a } -)\;}

\boxed{\;\text{base } = \frac83, \quad \text{altura} = \frac{4\sqrt3}{3}\approx2{,}31 \quad (\text{triángulo equilátero})\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Llamamos

b

a la base y

l

a cada uno de los dos lados iguales. El perímetro da la ligadura

2l+b = 8

.

La altura de un isósceles cae sobre el punto medio de la base, así que por Pitágoras

h = \sqrt{l^{2}-\frac{b^{2}}{4}}

Al sustituir

l = \dfrac{8-b}{2}

la raíz se simplifica muchísimo y el área queda como

b\sqrt{4-b}

, fácil de derivar.

Desarrollo

Ligadura y altura.

2l+b = 8 \;\Longrightarrow\; l = \frac{8-b}{2} = 4-\frac{b}{2}

h = \sqrt{l^{2}-\frac{b^{2}}{4}} = \sqrt{\left(4-\frac{b}{2}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4}}

Desarrollando el cuadrado:

\left(4-\frac{b}{2}\right)^{2} = 16-4b+\frac{b^{2}}{4}

h = \sqrt{16-4b+\frac{b^{2}}{4}-\frac{b^{2}}{4}} = \sqrt{16-4b} = 2\sqrt{4-b}

El área.

A(b) = \frac{b\cdot h}{2} = \frac{b\cdot 2\sqrt{4-b}}{2} = b\sqrt{4-b}, \qquad 0<b<4

Derivamos.

A'(b) = \sqrt{4-b}+b\cdot\frac{-1}{2\sqrt{4-b}} = \frac{2\,(4-b)-b}{2\sqrt{4-b}} = \frac{8-3b}{2\sqrt{4-b}}

A'(b) = 0 \;\Longleftrightarrow\; 8-3b = 0 \;\Longrightarrow\; b = \frac83

Es máximo: el denominador es positivo, así que

A'

tiene el signo de

8-3b

b<\tfrac83 \Rightarrow A'>0 \ \text{(crece)} \qquad b>\tfrac83 \Rightarrow A'<0 \ \text{(decrece)}

Las dimensiones.

b = \frac83 \qquad l = 4-\frac{4}{3} = \frac83 \qquad \textbf{(es equilátero)}

h = 2\sqrt{4-\frac83} = 2\sqrt{\frac43} = \frac{4}{\sqrt3} = \frac{4\sqrt3}{3} \approx 2{,}31

A_{\max} = \frac83\cdot\sqrt{\frac43} = \frac{16\sqrt3}{9} \approx 3{,}08

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Antes de derivar, simplifica la raíz: el término $\frac{b^{2}}{4}$ se cancela y queda $h = 2\sqrt{4-b}$ . Derivar la expresión sin simplificar es mucho más largo y propenso a errores.

Que el óptimo sea el equilátero ( $b = l = \frac83$ ) es el control de calidad del problema: de todos los triángulos de perímetro dado, el de área máxima es siempre el equilátero.

Justifica que es máximo con el signo de $A'$ : aquí el denominador $2\sqrt{4-b}$ es positivo en todo el dominio, así que basta estudiar el numerador $8-3b$ .