Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2009 · Reserva 6 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] De todos los triángulos cuya base y altura suman $20\ \text{cm}$ , ¿qué base tiene el de área máxima?

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;b+h = 20 \;\Longrightarrow\; h = 20-b\;}

\boxed{\;A(b) = \frac{b\,(20-b)}{2} = 10b-\frac{b^{2}}{2}\;}

\boxed{\;A'(b) = 10-b = 0 \;\Longrightarrow\; b = 10 \quad (A'' = -1<0)\;}

\boxed{\;\text{Base } = 10\ \text{cm}, \ \text{altura } = 10\ \text{cm}, \ A_{\max} = 50\ \text{cm}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Llamando

b

a la base y

h

a la altura, la ligadura es directa:

b+h = 20 \;\Longrightarrow\; h = 20-b

y el área del triángulo es

A = \frac{b\,h}{2} = \frac{b\,(20-b)}{2}

Es una parábola de ramas hacia abajo en

b

: tiene un máximo único, que se puede hallar derivando o directamente con el vértice.

Desarrollo

La ligadura.

b+h = 20 \;\Longrightarrow\; h = 20-b, \qquad 0<b<20

El área.

A(b) = \frac{b\,(20-b)}{2} = 10b-\frac{b^{2}}{2}

Derivamos.

A'(b) = 10-b = 0 \;\Longrightarrow\; b = 10

Es máximo:

A''(b) = -1 < 0 \;\checkmark

Las dimensiones.

h = 20-10 = 10

\textbf{Base } = 10\ \text{cm} \quad \text{(y altura } 10\ \text{cm)}

A_{\max} = \frac{10\cdot10}{2} = 50 \ \text{cm}^{2}

Comprobación:

\;10+10 = 20

\;\checkmark

(Control de coherencia: como $A$ es una parábola simétrica en $b$ , el máximo cae justo en el punto medio del intervalo $(0,20)$ , es decir, en $b = 10$ . Base y altura coinciden.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuando la función a optimizar es una parábola, el óptimo está en el vértice: $b = -\frac{B}{2A}$ . Derivar da lo mismo, pero conviene reconocerlo para ahorrar tiempo.

Ojo: la altura de un triángulo no es un lado. La ligadura del enunciado es "base $+$ altura", no un perímetro.

Indica el dominio $0<b<20$ : fuera de él la altura sería negativa. Y comprueba con $A''<0$ que se trata de un máximo y no de un mínimo.