Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2015 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Determina

a

b

sabiendo que

b>0

y que la función

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

definida como

f(x) = \begin{cases} a\cos(x)+2x & \text{si } x<0 \\[6pt] a^{2}\ln(x+1)+\dfrac{b}{x+1} & \text{si } x\geq 0\end{cases}

es derivable (

\ln

denota la función logaritmo neperiano).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Continuidad: } f(0^{-}) = a, \ f(0^{+}) = b \;\Longrightarrow\; a = b\;}

\boxed{\;\text{Derivadas: } f'(0^{-}) = 2, \ f'(0^{+}) = a^{2}-b \;\Longrightarrow\; a^{2}-b = 2\;}

\boxed{\;a^{2}-a-2 = 0 \;\Longrightarrow\; a = 2 \text{ o } a = -1; \quad \text{con } b>0: \ a = b = 2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada trozo es derivable en su intervalo abierto (cosenos, polinomios, logaritmos y cocientes con denominador no nulo). El único punto conflictivo es

x = 0

, y allí hay que exigir dos cosas:

Continuidad: $\;f(0^{-}) = f(0^{+})$ . (Derivable $\Rightarrow$ continua: si falla esto, no hay nada que hacer.)
Derivadas laterales iguales: $\;f'(0^{-}) = f'(0^{+})$ .

Sale un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, con dos soluciones; la condición

b>0

selecciona una.

Desarrollo

1) Continuidad en $x=0$ .

f(0^{-}) = a\cos 0+2\cdot 0 = a

f(0^{+}) = a^{2}\ln 1+\frac{b}{1} = 0+b = b

a = b \qquad \text{(primera ecuación)}

2) Las derivadas laterales.

x<0: \quad f'(x) = -a\,\mathrm{sen}\,x+2 \;\Longrightarrow\; f'(0^{-}) = -a\cdot 0+2 = 2

x>0: \quad f'(x) = \frac{a^{2}}{x+1}-\frac{b}{(x+1)^{2}} \;\Longrightarrow\; f'(0^{+}) = a^{2}-b

a^{2}-b = 2 \qquad \text{(segunda ecuación)}

El sistema.

\begin{cases} a = b \\ a^{2}-b = 2\end{cases} \;\Longrightarrow\; a^{2}-a-2 = 0

a = \frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2} = \frac{1\pm3}{2} \;\Longrightarrow\; a = 2 \quad \text{o} \quad a = -1

La condición $b>0$ . Como

b = a

a = -1 \;\Longrightarrow\; b = -1 < 0 \quad \textbf{(descartada)}

a = 2 \;\Longrightarrow\; b = 2 > 0 \quad \checkmark

a = 2, \qquad b = 2

Comprobación. Con

a=b=2

f(0^{-}) = 2 = f(0^{+}) \;\checkmark

f'(0^{-}) = 2 \qquad f'(0^{+}) = 2^{2}-2 = 2 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Derivable implica continua: hay que imponer las dos condiciones. Si solo igualas las derivadas laterales, te falta una ecuación y el sistema queda indeterminado.

Cuidado al derivar $\dfrac{b}{x+1}$ : es $-\dfrac{b}{(x+1)^{2}}$ , con signo menos. Ese menos es lo que convierte la segunda ecuación en $a^{2}-b = 2$ en vez de $a^{2}+b = 2$ , y cambia por completo las soluciones.

La condición $b>0$ del enunciado no es un adorno: sirve precisamente para descartar una de las dos raíces. Cuando un enunciado añade una desigualdad así, es siempre para eso.