Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2008 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Sean

f,g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

las funciones definidas por

f(x) = x^{2}-1 \qquad \text{y} \qquad g(x) = 2x+2

a) [0,5 puntos] Esboza las gráficas de

f

g

.

b) [2 puntos] Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f: \text{ parábola, vértice } (0,-1); \quad g: \text{ recta } y = 2(x+1)\;}

\boxed{\;x^{2}-1 = 2x+2 \Rightarrow x^{2}-2x-3 = 0 \Rightarrow x = -1, \ x = 3\;}

\boxed{\;\text{Cortes } (-1,0) \text{ y } (3,8); \ \text{arriba va } g\;}

\boxed{\;A = \int_{-1}^{3}\bigl[-x^{2}+2x+3\bigr]dx = 9+\frac53 = \frac{32}{3} \approx 10{,}67\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Parábola contra recta: los cortes salen de una ecuación de segundo grado y el área es la integral de la diferencia entre ellos.

x^{2}-1 = 2x+2 \;\Longrightarrow\; x^{2}-2x-3 = 0

Y como la parábola es convexa (

a = 1>0

), la recta va por encima entre los dos cortes.

Desarrollo

a) Las gráficas.

$f(x) = x^{2}-1$ : parábola de ramas hacia arriba, vértice $(0,-1)$ , cortes con el eje $X$ en $x = \pm1$ .
$g(x) = 2x+2 = 2\,(x+1)$ : recta de pendiente $2$ que corta los ejes en $(-1,0)$ y $(0,2)$ .

Los puntos de corte.

x^{2}-1 = 2x+2 \;\Longrightarrow\; x^{2}-2x-3 = 0 \;\Longrightarrow\; (x-3)(x+1) = 0

x = -1 \qquad \text{o} \qquad x = 3

f(-1) = 0 \qquad f(3) = 8

\text{Cortes: } (-1,\,0) \qquad \text{y} \qquad (3,\,8)

b) El área. ¿Quién va arriba? En

x = 0

g(0) = 2 \qquad > \qquad f(0) = -1

La recta está por encima en todo

[-1,3]

A = \int_{-1}^{3}\Bigl[(2x+2)-\bigl(x^{2}-1\bigr)\Bigr]dx = \int_{-1}^{3}\bigl[-x^{2}+2x+3\bigr]dx

= \left[-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+3x\right]_{-1}^{3}

En $x = 3$ :

\;-9+9+9 = 9

En $x = -1$ :

\;\dfrac13+1-3 = \dfrac{1+3-9}{3} = -\dfrac53

A = 9-\left(-\frac53\right) = 9+\frac53 = \frac{27+5}{3} = \frac{32}{3}

A = \frac{32}{3} \approx 10{,}67 \ \text{u}^{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Simplifica $g-f = -x^{2}+2x+3$ antes de integrar: es una sola parábola y evita arrastrar dos primitivas separadas.

Entre dos cortes de una parábola convexa con una recta, la recta siempre va por encima. Ese argumento evita tener que probar con un punto (aunque conviene hacerlo igual).

Cuidado al evaluar en $x = -1$ : $\;-\frac{(-1)^{3}}{3} = +\frac13$ . Los signos de las potencias impares son la fuente habitual de error en este cálculo.