Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2020 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 1. Sea

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

la función definida por

f(x) = (5 - x)\,e^{x-4}

. Determina los puntos de la gráfica de

f

cuya recta tangente tiene pendiente máxima.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = (4-x)e^{x-4}, \qquad f''(x) = (3-x)e^{x-4}\;}

\boxed{\;f''(x) = 0 \Rightarrow x = 3, \text{ con } f'' > 0 \text{ antes y } f'' < 0 \text{ después}: \text{ máximo de la pendiente}\;}

\boxed{\;\text{Punto } \left(3,\; \tfrac{2}{e}\right), \text{ con pendiente } f'(3) = \tfrac{1}{e}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un problema de optimización disfrazado. Lo que hay que maximizar no es

f

, sino la pendiente de la tangente, es decir, la propia

f'

.

Por tanto:

Se calcula $f'$ — esa es ahora la función objetivo.
Se optimiza $f'$ : sus puntos críticos salen de $f'' = 0$ .
Se decide si es máximo con el signo de $f'''$ (o estudiando el signo de $f''$ ).

Ojo al final: se piden los puntos de la gráfica, así que hay que dar

\bigl(x_{0}, f(x_{0})\bigr)

, no solo la abscisa.

Desarrollo

Primera derivada (regla del producto, sacando

e^{x-4}

factor común):

f'(x) = -e^{x-4} + (5-x)e^{x-4} = (4 - x)\,e^{x-4}

Esta es la función que hay que maximizar.

Segunda derivada.

f''(x) = -e^{x-4} + (4-x)e^{x-4} = (3 - x)\,e^{x-4}

Punto crítico de $f'$ . Como

e^{x-4} > 0

siempre:

f''(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; 3 - x = 0 \;\Longleftrightarrow\; x = 3

¿Máximo o mínimo? Estudiamos el signo de

f''

, que es el signo de

(3-x)

x < 3 \Rightarrow f'' > 0 \;(f' \text{ creciente}); \qquad x > 3 \Rightarrow f'' < 0 \;(f' \text{ decreciente})

f'

crece hasta

x=3

y decrece después: en

x = 3

hay un máximo de la pendiente.

(Con la tercera derivada, $f'''(x) = (2-x)e^{x-4}$ y $f'''(3) = -e^{-1} < 0$ : mismo veredicto.)

El punto de la gráfica.

f(3) = (5 - 3)\,e^{3-4} = 2e^{-1} = \frac{2}{e} \approx 0{,}736

\text{Punto: } \left(3,\; \frac{2}{e}\right)

La pendiente máxima vale

f'(3) = (4 - 3)e^{-1} = \frac{1}{e} \approx 0{,}368

(Es el único: $f''$ se anula solo en $x=3$ . Nótese que ese punto es precisamente la inflexión de $f$ , como cabía esperar: la pendiente es extrema justo donde cambia la curvatura.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Lee bien qué se optimiza. Aquí no se busca el máximo de $f$ (que está en $x=4$ , donde $f'=0$ ), sino el de $f'$ . Por eso el punto crítico sale de $f''=0$ y la comprobación necesita $f'''$ o el signo de $f''$ . Confundir los dos problemas es el error central de este ejercicio.

Y recuerda: la pendiente máxima ocurre en el punto de inflexión. Es un buen control mental: si tu respuesta no coincide con la inflexión de $f$ , revisa las derivadas.

Por último, la pregunta pide puntos, en plural y como pares $(x,y)$ : hay que evaluar $f(3) = 2/e$ . Responder solo " $x=3$ " deja el ejercicio incompleto.