Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2010 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. Sea

f

la función definida como

f(x) = \frac{x^{3}}{x^{2}-1} \qquad \text{para } x\neq\pm1

a) [1 punto] Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de

f

.

b) [0,75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f

.

c) [0,75 puntos] Esboza la gráfica de

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(x) = x+\frac{x}{x^{2}-1}\;}

\boxed{\;\text{A. verticales } x = \pm1; \ \text{A. oblicua } y = x \ (m = 1, \ n = 0)\;}

\boxed{\;f'(x) = \frac{x^{2}\bigl(x^{2}-3\bigr)}{\bigl(x^{2}-1\bigr)^{2}}: \text{ signo de } x^{2}-3\;}

\boxed{\;\text{Crece en } (-\infty,-\sqrt3)\cup(\sqrt3,\infty); \ \text{decrece en el resto (salvo } \pm1)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Primer movimiento: dividir. Como el numerador tiene grado

3

y el denominador grado

2

x^{3} = x\,\bigl(x^{2}-1\bigr)+x \;\Longrightarrow\; f(x) = x+\frac{x}{x^{2}-1}

Escrita así, la asíntota oblicua (

y = x

) se lee de un vistazo.

Además,

f

es impar (

f(-x) = -f(x)

), así que la gráfica es simétrica respecto del origen: basta estudiar

x>0

y reflejar.

Desarrollo

a) Asíntotas.

Verticales. El denominador se anula en

x = 1

x = -1

, y el numerador no:

\lim_{x\to1^{+}}f(x) = +\infty \qquad \lim_{x\to1^{-}}f(x) = -\infty

\lim_{x\to-1^{+}}f(x) = +\infty \qquad \lim_{x\to-1^{-}}f(x) = -\infty

\textbf{Asíntotas verticales: } x = 1 \ \text{ y } \ x = -1

Horizontales: no hay, porque

\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x) = \pm\infty

.

Oblicua.

m = \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{x\,\bigl(x^{2}-1\bigr)} = 1

n = \lim_{x\to\infty}\bigl[f(x)-x\bigr] = \lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^{2}-1} = 0

\textbf{Asíntota oblicua: } y = x

(Posición: $f(x)-x = \frac{x}{x^{2}-1}$ , positivo si $x>1$ : la curva va por encima a la derecha, y por debajo a la izquierda de $-1$ , por simetría.)

b) Monotonía.

f'(x) = \frac{3x^{2}\bigl(x^{2}-1\bigr)-x^{3}\cdot2x}{\bigl(x^{2}-1\bigr)^{2}} = \frac{3x^{4}-3x^{2}-2x^{4}}{\bigl(x^{2}-1\bigr)^{2}} = \frac{x^{4}-3x^{2}}{\bigl(x^{2}-1\bigr)^{2}}

f'(x) = \frac{x^{2}\bigl(x^{2}-3\bigr)}{\bigl(x^{2}-1\bigr)^{2}}

Como

x^{2}\geq0

y el denominador es positivo, el signo de $f'$ es el de $x^{2}-3$ :

f'(x) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0 \quad \text{o} \quad x = \pm\sqrt3

\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} & (-\infty,-\sqrt3) & (-\sqrt3,-1) & (-1,0) & (0,1) & (1,\sqrt3) & (\sqrt3,+\infty) \\ \hline x^{2}-3 & + & - & - & - & - & + \\ \hline f & \text{crece} & \text{decrece} & \text{decrece} & \text{decrece} & \text{decrece} & \text{crece}\end{array}

\textbf{Crece en } (-\infty,-\sqrt3)\cup(\sqrt3,+\infty)

\textbf{Decrece en } (-\sqrt3,-1)\cup(-1,0)\cup(0,1)\cup(1,\sqrt3)

Extremos.

f\bigl(-\sqrt3\bigr) = \frac{-3\sqrt3}{2} \approx -2{,}60 \quad \textbf{(máximo relativo)}

f\bigl(\sqrt3\bigr) = \frac{3\sqrt3}{2} \approx 2{,}60 \quad \textbf{(mínimo relativo)}

(En $x = 0$ la derivada se anula pero no cambia de signo: hay tangente horizontal, pero no es extremo, sino un punto de inflexión.)

c) El esbozo. Con todo lo anterior: función impar, que pasa por el origen con tangente horizontal, tres ramas separadas por

x = \pm1

, asíntota oblicua

y = x

, máximo relativo en

\bigl(-\sqrt3,-\frac{3\sqrt3}{2}\bigr)

y mínimo relativo en

\bigl(\sqrt3,\frac{3\sqrt3}{2}\bigr)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Divide antes de derivar. Escribir $f(x) = x+\frac{x}{x^{2}-1}$ regala la asíntota oblicua sin calcular ningún límite y hace obvia la posición de la curva respecto de ella.

Al estudiar el signo de $f'$ , incluye $x = \pm1$ como puntos de corte de los intervalos: no están en el dominio, así que la monotonía se describe rama por rama.

$x = 0$ anula $f'$ pero no es extremo: el factor $x^{2}$ no cambia de signo. Es el detalle que distingue una tangente horizontal de un máximo o mínimo.