Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2023 · Junio

Enunciado

Ejercicio 4 (bloque A). Considera la función

F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definida por

F(x) = \int_{0}^{x} \operatorname{sen}\left(t^{2}\right)\,dt

Calcula

\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x\,F(x)}{\operatorname{sen}(x^{2})}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\lim_{x \to 0} \frac{x\,F(x)}{\operatorname{sen}(x^{2})} = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La integral

\int \operatorname{sen}(t^{2})\,dt

no tiene primitiva elemental: no se puede calcular. Y no hace falta. Todo el ejercicio se apoya en el teorema fundamental del cálculo, que dice que

F

es derivable y

F'(x) = \operatorname{sen}\left(x^{2}\right)

Con eso, la indeterminación

0/0

se ataca con L'Hôpital (hay que aplicarlo dos veces) o, más rápido, comparando infinitésimos con los desarrollos de Taylor.

Antes de nada conviene ver por qué es indeterminado:

F(0) = \int_{0}^{0} = 0

\operatorname{sen}(0) = 0

Desarrollo

Primer L'Hôpital. Numerador y denominador tienden a

0

, y ambos son derivables. Derivamos el numerador como un producto, usando

F'(x) = \operatorname{sen}(x^{2})

\bigl(x\,F(x)\bigr)' = F(x) + x\,\operatorname{sen}\left(x^{2}\right), \qquad \bigl(\operatorname{sen}(x^{2})\bigr)' = 2x\cos\left(x^{2}\right)

L = \lim_{x \to 0} \frac{F(x) + x\,\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{2x\cos\left(x^{2}\right)}

Sigue siendo

0/0

(el numerador vale

0 + 0 = 0

y el denominador

0

).

Segundo L'Hôpital.

\bigl(F(x) + x\operatorname{sen}(x^{2})\bigr)' = \operatorname{sen}\left(x^{2}\right) + \operatorname{sen}\left(x^{2}\right) + 2x^{2}\cos\left(x^{2}\right)

\bigl(2x\cos(x^{2})\bigr)' = 2\cos\left(x^{2}\right) - 4x^{2}\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)

L = \lim_{x \to 0} \frac{2\operatorname{sen}\left(x^{2}\right) + 2x^{2}\cos\left(x^{2}\right)}{2\cos\left(x^{2}\right) - 4x^{2}\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)} = \frac{0 + 0}{2 - 0} = \frac{0}{2} = 0

Comprobación con infinitésimos. Cerca de

0

\operatorname{sen}(u) \sim u

, así que

\operatorname{sen}(t^{2}) \sim t^{2}

F(x) = \int_{0}^{x} \operatorname{sen}\left(t^{2}\right)dt \sim \int_{0}^{x} t^{2}\,dt = \frac{x^{3}}{3}

También

\operatorname{sen}(x^{2}) \sim x^{2}

. Sustituyendo:

\frac{x\,F(x)}{\operatorname{sen}(x^{2})} \sim \frac{x \cdot \dfrac{x^{3}}{3}}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{3} \;\xrightarrow[\;x \to 0\;]{}\; 0

Además así se ve a qué velocidad tiende a cero: como

x^{2}/3

. Un tanteo numérico lo confirma: para

x = 0{,}01

el cociente vale

3{,}33\cdot 10^{-5}

, y para

x = 0{,}001

3{,}33\cdot 10^{-7}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No pierdas ni un minuto intentando calcular $\int \operatorname{sen}(t^{2})\,dt$ : no existe en términos de funciones elementales. Cuando veas una integral con límite superior variable dentro de un límite, la herramienta es siempre el teorema fundamental del cálculo, $F'(x) = f(x)$ .

Y ojo al derivar el numerador: $x\,F(x)$ es un producto, no una constante por $F$ . Su derivada es $F(x) + x\,F'(x)$ , no $x\,F'(x)$ ni $F'(x)$ . Si te saltas la regla del producto, el segundo L'Hôpital deja de cuadrar y ya no puedes justificar el resultado.