Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2012 · Reserva 6 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] De entre todos los triángulos rectángulos de hipotenusa $10$ unidades, determina las dimensiones del de área máxima.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;x^{2}+y^{2} = 100 \;\Longrightarrow\; y = \sqrt{100-x^{2}}; \qquad A = \frac{x\,y}{2}\;}

\boxed{\;H = A^{2} = \frac{100x^{2}-x^{4}}{4}; \qquad H'(x) = x\,\bigl(50-x^{2}\bigr) = 0\;}

\boxed{\;x = 5\sqrt2 \;\Longrightarrow\; y = 5\sqrt2 \ \ (\text{triángulo isósceles})\;}

\boxed{\;A_{\max} = \frac{50}{2} = 25 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Si los catetos son

x

y

, el teorema de Pitágoras da la restricción y el área es la función objetivo:

x^{2}+y^{2} = 100 \;\Longrightarrow\; y = \sqrt{100-x^{2}} \qquad A = \frac{x\,y}{2}

Se puede derivar directamente

A(x) = \dfrac{x\sqrt{100-x^{2}}}{2}

, pero es mucho más cómodo maximizar $A^{2}$ : la raíz desaparece y el máximo se alcanza en el mismo punto (la función

u\mapsto u^{2}

es creciente para

u>0

Desarrollo

Variables y restricción. Catetos

x>0

y>0

x^{2}+y^{2} = 100 \;\Longrightarrow\; y = \sqrt{100-x^{2}}, \qquad 0<x<10

El área.

A(x) = \frac{x\sqrt{100-x^{2}}}{2}

Maximizando $A^{2}$ . Sea

H(x) = A^{2} = \frac{x^{2}\bigl(100-x^{2}\bigr)}{4} = \frac{100x^{2}-x^{4}}{4}

H'(x) = \frac{200x-4x^{3}}{4} = \frac{4x\,\bigl(50-x^{2}\bigr)}{4} = x\,\bigl(50-x^{2}\bigr) = 0

x = 0 \ \text{(se descarta)} \qquad \text{o} \qquad x^{2} = 50 \;\Longrightarrow\; x = 5\sqrt2 \approx 7{,}07

Es máximo.

H''(x) = 50-3x^{2} \;\Longrightarrow\; H''\bigl(5\sqrt2\bigr) = 50-150 = -100 < 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{máximo}

El otro cateto.

y = \sqrt{100-50} = \sqrt{50} = 5\sqrt2

\textbf{Los dos catetos miden } 5\sqrt2 \approx 7{,}07 \text{: el triángulo es isósceles}

El área máxima.

A = \frac{5\sqrt2\cdot5\sqrt2}{2} = \frac{50}{2} = 25 \ \text{u}^{2}

Comprobación.

\;\bigl(5\sqrt2\bigr)^{2}+\bigl(5\sqrt2\bigr)^{2} = 50+50 = 100

\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Maximiza $A^{2}$ , no $A$ : al ser $A>0$ , el máximo cae en el mismo punto y te ahorras derivar una raíz. Es el truco estándar en optimización con raíces cuadradas.

Descarta $x=0$ justificándolo: no hay triángulo con un cateto nulo. Y comprueba que $x = 5\sqrt2 < 10$ , es decir, que está en el dominio.

Que salga isósceles es el patrón esperado. Como comprobación alternativa, $A = \frac{1}{2}xy \leq \frac{1}{4}(x^{2}+y^{2}) = 25$ , con igualdad solo si $x=y$ .