Opción B · Ejercicio 1. Sea la función f\colon[0,4]\to\mathbb{R} definida por f(x) = \begin{cases} x^{2}+a x+b & \text{si } 0\leq x<2 \\ c\,x+1 & \text{si } 2\leq x\leq4\end{cases} a) [2 puntos] Determina a, b y c sabiendo que f es continua en el intervalo cerrado [0,4], derivable en el intervalo abierto (0,4) y que f(0) = f(4). b) [0,5 puntos] ¿En qué punto del intervalo se anula la derivada de la función?

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2008 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. Sea la función

f\colon[0,4]\to\mathbb{R}

definida por

f(x) = \begin{cases} x^{2}+a x+b & \text{si } 0\leq x<2 \\ c\,x+1 & \text{si } 2\leq x\leq4\end{cases}

a) [2 puntos] Determina

a

b

c

sabiendo que

f

es continua en el intervalo cerrado

[0,4]

, derivable en el intervalo abierto

(0,4)

y que

f(0) = f(4)

.

b) [0,5 puntos] ¿En qué punto del intervalo se anula la derivada de la función?

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Resultado

\boxed{\;\text{Continuidad}: 4+2a+b = 2c+1; \quad \text{Derivabilidad}: 4+a = c; \quad f(0)=f(4): b = 4c+1\;}

\boxed{\;a = -3, \qquad b = 5, \qquad c = 1\;}

\boxed{\;f(x) = \begin{cases} x^{2}-3x+5 & 0\leq x<2 \\ x+1 & 2\leq x\leq4\end{cases}\;}

\boxed{\;f'(x) = 2x-3 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac32 \quad \text{(teorema de Rolle)}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Las tres condiciones del enunciado son exactamente las hipótesis del teorema de Rolle, y el apartado b) pide el punto que ese teorema garantiza.

continuidad en $x=2$ ,
igualdad de derivadas laterales en $x=2$ ,
$f(0) = f(4)$ .

Tres ecuaciones para

a

b

c

Desarrollo

a) Las tres condiciones.

Continuidad en $x = 2$ :

f(2^{-}) = 4+2a+b \qquad f(2) = 2c+1

4+2a+b = 2c+1 \qquad \text{(1)}

Derivabilidad en $x = 2$ :

f'(x) = \begin{cases} 2x+a & \text{si } x<2 \\ c & \text{si } x>2\end{cases}

4+a = c \qquad \text{(2)}

Condición $f(0) = f(4)$ :

f(0) = b \qquad f(4) = 4c+1

b = 4c+1 \qquad \text{(3)}

Resolvemos. Sustituyendo (2) en (3):

\;b = 4\,(4+a)+1 = 17+4a

.

Y llevando ambas a (1):

4+2a+17+4a = 2\,(4+a)+1 = 9+2a

21+6a = 9+2a \;\Longrightarrow\; 4a = -12 \;\Longrightarrow\; a = -3

c = 4-3 = 1 \qquad b = 17-12 = 5

a = -3, \qquad b = 5, \qquad c = 1

La función queda

f(x) = \begin{cases} x^{2}-3x+5 & \text{si } 0\leq x<2 \\ x+1 & \text{si } 2\leq x\leq4\end{cases}

Comprobaciones.

\;f(2^{-}) = 4-6+5 = 3

f(2) = 3

\checkmark

;

\;f'(2^{-}) = 4-3 = 1 = c

\checkmark

;

\;f(0) = 5 = f(4) = 5

\checkmark

b) ¿Dónde se anula la derivada?

f'(x) = \begin{cases} 2x-3 & \text{si } 0<x<2 \\ 1 & \text{si } 2<x<4\end{cases}

En el segundo tramo

f' = 1 \neq 0

: no se anula.

En el primero:

2x-3 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac32 \in(0,2) \;\checkmark

\textbf{La derivada se anula en } x = \frac32

(Es exactamente el punto que garantiza el teorema de Rolle: $f$ es continua en $[0,4]$ , derivable en $(0,4)$ y $f(0) = f(4)$ .)

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Consejo

Las tres condiciones del enunciado son las hipótesis del teorema de Rolle. Reconocerlo explica por qué el apartado b) tiene solución garantizada dentro de $(0,4)$ .

El punto donde $f'$ se anula está en el primer tramo: en el segundo la función es una recta de pendiente $1$ , que nunca se anula. Hay que comprobar los dos.

Ojo al orden de sustitución: de (2) y (3) sale $b$ en función de $a$ , y solo entonces la ecuación (1) queda con una sola incógnita.