Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2020 · Junio

Enunciado

Ejercicio 5. Se sabe que la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

dada por

f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d

tiene un punto crítico en

x = 0

, que su gráfica pasa por

(0,3)

y que la recta

y = -2x + 2

es tangente a dicha gráfica en el punto de abscisa

x = 1

. Calcula

a

b

c

d

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(0) = 0, \quad f(0) = 3, \quad f(1) = 0, \quad f'(1) = -2\;}

\boxed{\;a = 4, \quad b = -7, \quad c = 0, \quad d = 3 \;\Longrightarrow\; f(x) = 4x^{3} - 7x^{2} + 3\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cuatro incógnitas exigen cuatro ecuaciones, y hay que saber leerlas. Las dos primeras condiciones dan una cada una, pero la tercera —"la recta es tangente en

x=1

"— da dos:

La gráfica y la recta coinciden en ese punto: $f(1) = -2\cdot 1 + 2 = 0$ .
Tienen la misma pendiente: $f'(1) = -2$ .

Con eso el sistema queda determinado, y además se resuelve casi en cascada:

c

d

salen de inmediato, y

a

b

de un sistema

2\times 2

Desarrollo

Las derivadas.

f'(x) = 3ax^{2} + 2bx + c

Condición 1: punto crítico en $x = 0$ .

f'(0) = c = 0

Condición 2: la gráfica pasa por $(0,3)$ .

f(0) = d = 3

Condición 3: la recta pasa por el punto de la gráfica en $x = 1$ . La recta vale ahí

y = -2\cdot 1 + 2 = 0

luego

f(1) = 0

a + b + c + d = 0 \;\Longrightarrow\; a + b + 0 + 3 = 0 \;\Longrightarrow\; a + b = -3

Condición 4: las pendientes coinciden en $x = 1$ . La recta tiene pendiente

-2

f'(1) = 3a + 2b + c = -2 \;\Longrightarrow\; 3a + 2b = -2

Sistema para $a$ y $b$ . De

b = -3 - a

3a + 2\,(-3 - a) = -2 \;\Longrightarrow\; 3a - 6 - 2a = -2 \;\Longrightarrow\; a = 4

b = -3 - 4 = -7

a = 4, \qquad b = -7, \qquad c = 0, \qquad d = 3

La función es

\;f(x) = 4x^{3} - 7x^{2} + 3

.

Comprobación.

f(0) = 3 \quad \checkmark \qquad f(1) = 4 - 7 + 3 = 0 \quad \checkmark

f'(x) = 12x^{2} - 14x \;\Longrightarrow\; f'(0) = 0 \quad \checkmark, \qquad f'(1) = 12 - 14 = -2 \quad \checkmark

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Consejo

"La recta es tangente en $x=1$ " son dos condiciones: el paso por el punto y la igualdad de pendientes. Si solo usas una, te faltará una ecuación y el sistema quedará indeterminado. Y el valor del punto no lo da el enunciado directamente: hay que evaluar la recta en $x=1$ para obtener $f(1) = 0$ .

Resuelve en cascada: $c$ sale de $f'(0)=0$ y $d$ de $f(0)=3$ , sin tocar nada más. Con esos dos ya conocidos, las otras dos condiciones dan un sistema $2\times 2$ muy sencillo. Plantear las cuatro ecuaciones a la vez es innecesariamente pesado.