Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Dada la función f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x) = a x^{3}+b x^{2}+c x determina a, b y c sabiendo que su gráfica tiene un punto de inflexión en (1,0), y que la recta tangente en ese punto tiene por ecuación \;y = -3x+3.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2011 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Dada la función

f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

definida por

f(x) = a x^{3}+b x^{2}+c x

determina

a

b

c

sabiendo que su gráfica tiene un punto de inflexión en

(1,0)

, y que la recta tangente en ese punto tiene por ecuación

\;y = -3x+3

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Resultado

\boxed{\;f' = 3ax^{2}+2bx+c, \qquad f'' = 6ax+2b\;}

\boxed{\;f(1) = 0: \ a+b+c = 0; \quad f''(1) = 0: \ b = -3a; \quad f'(1) = -3\;}

\boxed{\;c = 3a-3 \ \text{ y } \ a-3a+3a-3 = 0 \;\Longrightarrow\; a = 3\;}

\boxed{\;a = 3, \quad b = -9, \quad c = 6: \qquad f(x) = 3x^{3}-9x^{2}+6x\;}

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Estrategia

Tres incógnitas, tres condiciones. Cada palabra del enunciado se traduce en una ecuación:

"pasa por $(1,0)$ " $\Rightarrow f(1) = 0$ ,
"punto de inflexión en $x=1$ " $\Rightarrow f''(1) = 0$ ,
"tangente $y = -3x+3$ " $\Rightarrow f'(1) = -3$ (la pendiente de esa recta).

(La recta pasa por $(1,0)$ : $-3+3 = 0$ $\checkmark$ , así que no aporta información nueva.)

Desarrollo

Las derivadas.

f(x) = a x^{3}+b x^{2}+c x

f'(x) = 3a x^{2}+2b x+c \qquad f''(x) = 6a x+2b

Las tres condiciones.

\text{(1)}\quad f(1) = a+b+c = 0

\text{(2)}\quad f''(1) = 6a+2b = 0 \;\Longrightarrow\; b = -3a

\text{(3)}\quad f'(1) = 3a+2b+c = -3

Resolvemos. Sustituyendo

b = -3a

en (3):

3a-6a+c = -3 \;\Longrightarrow\; -3a+c = -3 \;\Longrightarrow\; c = 3a-3

Y llevando ambas a (1):

a+(-3a)+(3a-3) = a-3 = 0 \;\Longrightarrow\; a = 3

b = -3\cdot3 = -9 \qquad c = 3\cdot3-3 = 6

f(x) = 3x^{3}-9x^{2}+6x

Comprobaciones.

f(1) = 3-9+6 = 0 \;\checkmark

f'(x) = 9x^{2}-18x+6 \;\Longrightarrow\; f'(1) = 9-18+6 = -3 \;\checkmark

f''(x) = 18x-18 \;\Longrightarrow\; f''(1) = 0 \;\checkmark

¿Es realmente inflexión? Sí:

\;f'''(x) = 18 \neq 0

, luego

f''

cambia de signo en

x=1

(cóncava a la izquierda, convexa a la derecha).

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Traduce cada dato en una ecuación antes de calcular nada. "Punto de inflexión en $(1,0)$ " son dos condiciones: $f(1)=0$ y $f''(1)=0$ .

De la recta tangente solo se usa la pendiente ( $f'(1) = -3$ ). Que además pase por $(1,0)$ es una comprobación de coherencia del enunciado, no una cuarta ecuación.

Cierra confirmando que $f'''(1)\neq0$ : eso garantiza que el punto es de inflexión de verdad y no un caso degenerado en el que $f''$ se anula sin cambiar de signo.