Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2018 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Calcula

\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}(x) - x}{x - \operatorname{sen}(x)}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Indeterminación } \tfrac00 \;\Longrightarrow\; \overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{\cos^{2}x} - 1}{1 - \cos x} \quad (\text{otra vez } \tfrac00)\;}

\boxed{\;\overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x\to 0}\frac{2\operatorname{sen} x/\cos^{3}x}{\operatorname{sen} x} = \lim_{x\to 0}\frac{2}{\cos^{3}x}\;}

\boxed{\;L = 2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Sustituyendo

x=0

, numerador y denominador se anulan: indeterminación

\frac{0}{0}

. Toca L'Hôpital, y una vez no basta: numerador y denominador se comportan como

x^{3}

cerca del origen, así que aplicado a ciegas haría falta tres veces. Tras la segunda aplicación aparece un factor

\operatorname{sen} x

arriba y abajo; simplificándolo se evita la tercera.

Conviene tener a mano las derivadas:

\bigl(\operatorname{tg} x\bigr)' = \frac{1}{\cos^{2}x}, \qquad \left(\frac{1}{\cos^{2}x}\right)' = \frac{2\operatorname{sen} x}{\cos^{3}x}

Desarrollo

Comprobación de la indeterminación.

\text{Numerador: } \operatorname{tg} 0 - 0 = 0 \qquad \text{Denominador: } 0 - \operatorname{sen} 0 = 0

Primera aplicación de L'Hôpital.

L = \lim_{x\to 0}\frac{\dfrac{1}{\cos^{2}x} - 1}{1 - \cos x}

x=0

\;1 - 1 = 0\;

\;1 - 1 = 0

. Sigue siendo $\frac00$ .

Segunda aplicación.

L = \lim_{x\to 0}\frac{\dfrac{2\operatorname{sen} x}{\cos^{3}x}}{\operatorname{sen} x} = \lim_{x\to 0}\frac{2}{\cos^{3}x}

(El $\operatorname{sen} x$ se cancela arriba y abajo: no hace falta una tercera aplicación si se simplifica.)

L = \frac{2}{\cos^{3}0} = \frac{2}{1} = 2

Comprobación con desarrollos de Taylor. Cerca de

x=0

\operatorname{tg} x = x + \frac{x^{3}}{3} + \cdots \;\Longrightarrow\; \operatorname{tg} x - x \approx \frac{x^{3}}{3}

\operatorname{sen} x = x - \frac{x^{3}}{6} + \cdots \;\Longrightarrow\; x - \operatorname{sen} x \approx \frac{x^{3}}{6}

L = \frac{x^{3}/3}{x^{3}/6} = \frac{6}{3} = 2 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Simplifica antes de volver a derivar. Tras la segunda aplicación aparece un $\operatorname{sen} x$ en el numerador y otro en el denominador: cancelarlos evita una tercera vuelta de L'Hôpital, que sería bastante más engorrosa.

Ten claras las derivadas de la tangente: $\bigl(\operatorname{tg} x\bigr)' = \sec^{2}x = \frac{1}{\cos^{2}x}$ y su derivada, $\frac{2\operatorname{sen} x}{\cos^{3}x}$ . Son las que más se atragantan en este tipo de límite.

Como control mental, recuerda que $\operatorname{tg} x - x \sim \frac{x^{3}}{3}$ y $x - \operatorname{sen} x \sim \frac{x^{3}}{6}$ : el cociente es $2$ de inmediato. Los desarrollos de Taylor no sustituyen a L'Hôpital en el examen, pero sirven para comprobar.