Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2018 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Sea

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

la función definida por

f(x) = x\cos\left(\frac{x}{2}\right)

a) [1,75 puntos] Calcula

\displaystyle\int f(x)\,dx

.

b) [0,75 puntos] Encuentra la primitiva de

f

cuya gráfica pasa por el punto

(0,1)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;u = x,\; dv = \cos\tfrac{x}{2}\,dx \;\Longrightarrow\; v = 2\operatorname{sen}\tfrac{x}{2}\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \int x\cos\left(\frac{x}{2}\right)dx = 2x\operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right) + 4\cos\left(\frac{x}{2}\right) + C\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad F(0) = 4 + C = 1 \Rightarrow C = -3: \quad F(x) = 2x\operatorname{sen}\tfrac{x}{2} + 4\cos\tfrac{x}{2} - 3\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Producto de un polinomio por una función trigonométrica: caso de manual de integración por partes, eligiendo

u = x \quad (\text{para que al derivar desaparezca}), \qquad dv = \cos\left(\frac{x}{2}\right)dx

El único cuidado está en el ángulo mitad: al integrar

\cos(x/2)

aparece un factor

2

, y al integrar

\operatorname{sen}(x/2)

, otro. Esos doses son los que más se pierden.

En b), la constante se fija con

F(0) = 1

, y como

\cos 0 = 1

el cálculo es inmediato.

Desarrollo

a) Integración por partes.

u = x \;\Longrightarrow\; du = dx

dv = \cos\left(\frac{x}{2}\right)dx \;\Longrightarrow\; v = 2\operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right)

(El $2$ aparece porque la derivada de $\operatorname{sen}(x/2)$ es $\tfrac12\cos(x/2)$ : hay que compensar.)

\int x\cos\left(\frac{x}{2}\right)dx = 2x\operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right) - \int 2\operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right)dx

La integral que queda.

\int 2\operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right)dx = 2\cdot\left(-2\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right) = -4\cos\left(\frac{x}{2}\right)

\int f(x)\,dx = 2x\operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right) + 4\cos\left(\frac{x}{2}\right) + C

Comprobación (derivando):

\frac{d}{dx}\left[2x\operatorname{sen}\frac{x}{2} + 4\cos\frac{x}{2}\right] = 2\operatorname{sen}\frac{x}{2} + 2x\cdot\frac12\cos\frac{x}{2} - 4\cdot\frac12\operatorname{sen}\frac{x}{2}

= 2\operatorname{sen}\frac{x}{2} + x\cos\frac{x}{2} - 2\operatorname{sen}\frac{x}{2} = x\cos\frac{x}{2} \quad \checkmark

b) La primitiva que pasa por $(0,1)$ . Imponemos

F(0) = 1

F(0) = 2\cdot 0\cdot\operatorname{sen} 0 + 4\cos 0 + C = 0 + 4 + C

4 + C = 1 \;\Longrightarrow\; C = -3

F(x) = 2x\operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right) + 4\cos\left(\frac{x}{2}\right) - 3

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con un polinomio por una trigonométrica, elige siempre $u$ = polinomio: al derivarlo baja de grado y acaba desapareciendo. Al revés, la integral se complicaría en cada vuelta.

El ángulo mitad genera factores $2$ en cada integración: $\int\cos\tfrac{x}{2}dx = 2\operatorname{sen}\tfrac{x}{2}$ y $\int\operatorname{sen}\tfrac{x}{2}dx = -2\cos\tfrac{x}{2}$ . Por eso el resultado lleva un $2$ y un $4$ . Si te salen $1$ y $1$ , has perdido los dos factores.

Derivar el resultado para comprobarlo cuesta treinta segundos y detecta cualquier factor perdido: los dos términos con $\operatorname{sen}$ deben cancelarse y dejar solo $x\cos\tfrac{x}{2}$ .