Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2010 · Junio · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. Sea

f

la función definida como

f(x) = \frac{a x^{2}+b}{a-x} \qquad \text{para } x\neq a

a) [1,5 puntos] Calcula

a

b

para que la gráfica de

f

pase por el punto

(2,3)

y tenga una asíntota oblicua con pendiente

-4

.

b) [1 punto] Para el caso

a = 2

b = 3

, obtén la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;m = \lim_{x\to\infty}\frac{a x^{2}+b}{x\,(a-x)} = -a = -4 \;\Longrightarrow\; a = 4\;}

\boxed{\;f(2) = \frac{16+b}{2} = 3 \;\Longrightarrow\; b = -10\;}

\boxed{\;\text{b) } f(x) = \frac{2x^{2}+3}{2-x}: \ f(1) = 5, \ f'(x) = \frac{-2x^{2}+8x+3}{(2-x)^{2}}\;}

\boxed{\;f'(1) = 9 \;\Longrightarrow\; y = 9x-4\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Dos condiciones, dos incógnitas:

- "pasa por

(2,3)

\Rightarrow f(2) = 3

,
- "asíntota oblicua de pendiente

-4

\Rightarrow m = \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} = -4

.

El límite se calcula rápido comparando los términos de mayor grado:

\dfrac{a x^{2}}{-x\cdot x} = -a

b) Rutina de recta tangente: $f(1)$ , $f'(1)$ (regla del cociente) y la ecuación punto-pendiente.

Desarrollo

a) La pendiente de la asíntota.

m = \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{a x^{2}+b}{x\,(a-x)} = \lim_{x\to+\infty}\frac{a x^{2}}{-x^{2}} = -a

-a = -4 \;\Longrightarrow\; a = 4

La condición de paso por $(2,3)$ .

f(2) = \frac{4a+b}{a-2} = 3

Con

a = 4

\frac{16+b}{2} = 3 \;\Longrightarrow\; 16+b = 6 \;\Longrightarrow\; b = -10

a = 4, \qquad b = -10

Comprobación. Dividiendo

4x^{2}-10

entre

4-x

se obtiene

f(x) = -4x-16+\frac{54}{4-x}

La asíntota oblicua es

y = -4x-16

, con pendiente

-4

\checkmark

(y existe porque el resto

54\neq0

).

b) La recta tangente con $a=2$ , $b=3$ .

f(x) = \frac{2x^{2}+3}{2-x}

El punto.

f(1) = \frac{2+3}{2-1} = 5 \;\Longrightarrow\; (1,\,5)

La derivada (regla del cociente):

f'(x) = \frac{4x\,(2-x)-\bigl(2x^{2}+3\bigr)\cdot(-1)}{(2-x)^{2}} = \frac{8x-4x^{2}+2x^{2}+3}{(2-x)^{2}} = \frac{-2x^{2}+8x+3}{(2-x)^{2}}

f'(1) = \frac{-2+8+3}{1} = 9

La tangente.

y-5 = 9\,(x-1) \;\Longrightarrow\; y = 9x-4

Comprobación: en

x=1

\;9-4 = 5 = f(1)

\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para la pendiente de la asíntota oblicua no hace falta dividir: basta el límite $\lim\frac{f(x)}{x}$ , que compara los términos de mayor grado. Aquí sale $-a$ de un vistazo.

El orden importa: la condición de la asíntota da $a$ sola, y con ella la condición de paso da $b$ . Plantearlas a la vez como sistema es más lento.

En b) no simplifiques el signo a la ligera: el denominador es $(2-x)^{2}$ , siempre positivo, y la derivada de $2-x$ es $-1$ . Ese menos es el que convierte $-(2x^{2}+3)$ en $+(2x^{2}+3)$ .