Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2024 · Julio

Enunciado

Ejercicio 1 (bloque A). Sea

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

la función definida por

f(x) = a + b\cos(x) + c\operatorname{sen}(x)

Halla

a

b

c

sabiendo que su gráfica tiene en el punto de abscisa

x = \dfrac{\pi}{2}

a la recta

y = 1

como recta tangente, y que la recta

y = x - 1

corta a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 0

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;a = -1, \qquad b = 0, \qquad c = 2 \qquad\Longrightarrow\qquad f(x) = -1 + 2\operatorname{sen}(x)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tres parámetros, tres condiciones: hay que traducir cada frase del enunciado a una ecuación, y ahí está todo el ejercicio.

"La recta $y=1$ es tangente en $x=\frac{\pi}{2}$ " son dos condiciones, no una: la gráfica pasa por ese punto de la recta, $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ , y además tienen la misma pendiente, $f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ (la recta $y=1$ es horizontal).
"La recta $y = x-1$ corta a la gráfica en $x=0$ " es solo una condición: comparten el punto, $f(0) = -1$ . No dice nada de pendientes.

Distinguir "tangente" (dos condiciones) de "corta" (una) es la clave; confundirlas deja el sistema mal planteado.

Desarrollo

La derivada.

f'(x) = -b\operatorname{sen}(x) + c\cos(x)

Condición 1: la gráfica pasa por $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ . Con

\cos\frac{\pi}{2} = 0

\operatorname{sen}\frac{\pi}{2} = 1

f\left(\frac{\pi}{2}\right) = a + b\cdot 0 + c\cdot 1 = a + c = 1

Condición 2: la pendiente en $x=\frac{\pi}{2}$ es $0$ (la de la recta

y=1

f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -b\cdot 1 + c\cdot 0 = -b = 0 \;\Longrightarrow\; b = 0

Condición 3: la recta $y = x-1$ corta a la gráfica en $x=0$ . El punto de la recta con

x=0

(0,-1)

, luego

f(0) = -1

. Con

\cos 0 = 1

\operatorname{sen} 0 = 0

f(0) = a + b\cdot 1 + c\cdot 0 = a + b = -1

y como

b = 0

, resulta

a = -1

.

El sistema resuelto. De

a + c = 1

con

a=-1

c = 1 - a = 1 - (-1) = 2

a = -1, \qquad b = 0, \qquad c = 2 \qquad\Longrightarrow\qquad f(x) = -1 + 2\operatorname{sen}(x)

Comprobación completa. Con

f(x) = -1 + 2\operatorname{sen}(x)

f'(x) = 2\cos(x)

f\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = -1 + 2 = 1 \quad\text{(pasa por el punto de la recta } y=1)

f'\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = 2\cos\tfrac{\pi}{2} = 0 \quad\text{(tangente horizontal)}

f(0) = -1 + 0 = -1 \quad\text{y la recta } y=x-1 \text{ en } x=0 \text{ vale } -1 \ \text{(se cortan ahí)}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Tangente" aporta dos ecuaciones (mismo punto y misma pendiente); "corta" aporta una (solo el punto). Con tres incógnitas necesitas tres ecuaciones, y salen justas: $2 + 1$ . Si tratas la segunda recta como tangente te sobra una condición y el sistema queda incompatible.

Y no te dejes engañar por $y=1$ : es una recta horizontal, así que la condición sobre la derivada es $f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ , no $=1$ . Es el despiste más frecuente aquí.