Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2023 · Julio

Enunciado

Ejercicio 1 (bloque A). Sea la función

f : [-2, 2\pi] \longrightarrow \mathbb{R}

, definida por

f(x) = \begin{cases} 5x + 1 & \text{si } -2 \leq x \leq 0 \\[4pt] e^{x}\cos(x) & \text{si } 0 < x \leq 2\pi \end{cases}

a) [2 puntos] Halla los extremos relativos y absolutos de

f

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b) [0,5 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = \dfrac{\pi}{2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Máximo relativo en } x = \tfrac{\pi}{4}: \; \tfrac{\sqrt{2}}{2}e^{\pi/4} \approx 1{,}55; \qquad \text{mínimo relativo en } x = \tfrac{5\pi}{4}: \; -\tfrac{\sqrt{2}}{2}e^{5\pi/4} \approx -35{,}89\;}

\boxed{\;\text{Máximo absoluto } f(2\pi) = e^{2\pi} \approx 535{,}49; \qquad \text{mínimo absoluto } f\!\left(\tfrac{5\pi}{4}\right) \approx -35{,}89\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad y = -e^{\pi/2}\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Función a trozos en un intervalo cerrado: hay que examinar tres tipos de candidatos y no olvidar ninguno.

Los puntos críticos de cada trozo ( $f' = 0$ ).
El punto de empalme $x = 0$ , donde puede haber un pico aunque la derivada no se anule.
Los extremos del intervalo, $x = -2$ y $x = 2\pi$ , que siempre son candidatos a extremo absoluto aunque nunca lo sean a relativo.

El apartado b) cae en el segundo trozo, así que solo hay que derivar

e^{x}\cos x

(producto).

Desarrollo

Continuidad en el empalme. Por la izquierda,

f(0) = 5\cdot 0 + 1 = 1

; por la derecha,

e^{0}\cos 0 = 1

. La función es continua en

x = 0

y, al ser continua en un cerrado y acotado, el teorema de Weierstrass garantiza que alcanza máximo y mínimo absolutos.

Trozo $[-2, 0]$ .

f(x) = 5x + 1

es una recta de pendiente

5 > 0

: estrictamente creciente, sin puntos críticos. Va de

f(-2) = -9

hasta

f(0) = 1

.

Trozo $(0, 2\pi]$ .

g(x) = e^{x}\cos x

, luego

g'(x) = e^{x}\cos x - e^{x}\operatorname{sen} x = e^{x}\bigl(\cos x - \operatorname{sen} x\bigr)

Como

e^{x} > 0

siempre,

g'(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; \cos x = \operatorname{sen} x \;\Longleftrightarrow\; \operatorname{tg} x = 1 \;\Longleftrightarrow\; x = \frac{\pi}{4}, \quad x = \frac{5\pi}{4}

Estudiando el signo de

\cos x - \operatorname{sen} x

(0, 2\pi)

En $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ : positivo, $g$ crece.
En $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right)$ : negativo, $g$ decrece.
En $\left(\frac{5\pi}{4}, 2\pi\right)$ : positivo, $g$ crece.

Luego hay un máximo relativo en

x = \frac{\pi}{4}

y un mínimo relativo en

x = \frac{5\pi}{4}

g\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = e^{\pi/4}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 1{,}55, \qquad g\!\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -e^{5\pi/4}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -35{,}89

El punto de empalme $x = 0$ . Derivadas laterales: por la izquierda

5

, por la derecha

g'(0) = e^{0}(1 - 0) = 1

. Son distintas, así que

f

no es derivable en

0

; pero las dos son positivas, de modo que

f

crece al llegar y al salir: en

x = 0

no hay extremo, solo un punto anguloso.

Extremos absolutos. Comparamos los valores en todos los candidatos:

f(-2) = -9, \qquad f\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right) \approx 1{,}55, \qquad f\!\left(\tfrac{5\pi}{4}\right) \approx -35{,}89, \qquad f(2\pi) = e^{2\pi}\cos(2\pi) = e^{2\pi} \approx 535{,}49

\text{Máximo absoluto: } f(2\pi) = e^{2\pi} \approx 535{,}49 \qquad \text{Mínimo absoluto: } f\!\left(\tfrac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}e^{5\pi/4} \approx -35{,}89

b) Recta tangente en $x = \frac{\pi}{2}$ . Ese punto está en el segundo trozo:

f\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = e^{\pi/2}\cos\frac{\pi}{2} = 0, \qquad f'\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = e^{\pi/2}\left(\cos\frac{\pi}{2} - \operatorname{sen}\frac{\pi}{2}\right) = -e^{\pi/2}

y - 0 = -e^{\pi/2}\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \;\Longrightarrow\; y = -e^{\pi/2}\left(x - \frac{\pi}{2}\right)

Numéricamente,

y \approx -4{,}81\,(x - 1{,}57)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En un intervalo cerrado los extremos absolutos pueden estar en los bordes. Aquí el máximo absoluto está en $x = 2\pi$ , que ni siquiera es un punto crítico: si solo resuelves $f'(x)=0$ te lo pierdes y das como máximo el valor $1{,}55$ , que es trescientas veces menor.

Y no supongas que un punto anguloso es siempre un extremo. Aquí en $x = 0$ las dos derivadas laterales son positivas, así que la función simplemente sigue creciendo con un cambio brusco de pendiente. Compara los signos de las derivadas laterales, no solo compruebes que son distintas.