Opción B · Ejercicio 1. Considera la función f definida por f(x) = a\ln(x) + b\,x^{2} + x \qquad \text{para } x > 0 donde \ln denota logaritmo neperiano. a) [1,5 puntos] Halla a y b sabiendo que f tiene extremos relativos en x = 1 y en x = 2. b) [1 punto] ¿Qué tipo de extremos tiene f en x = 1 y en x = 2?

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2018 · Septiembre · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. Considera la función

f

definida por

f(x) = a\ln(x) + b\,x^{2} + x \qquad \text{para } x > 0

donde

\ln

denota logaritmo neperiano.

a) [1,5 puntos] Halla

a

b

sabiendo que

f

tiene extremos relativos en

x = 1

y en

x = 2

.

b) [1 punto] ¿Qué tipo de extremos tiene

f

x = 1

y en

x = 2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = \frac{a}{x} + 2bx + 1; \qquad f'(1) = a + 2b + 1 = 0, \quad f'(2) = \frac{a}{2} + 4b + 1 = 0\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad a = -\frac{2}{3}, \qquad b = -\frac{1}{6}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad f''(x) = \frac{2-x^{2}}{3x^{2}}: \quad f''(1) = \tfrac13 > 0 \text{ (mínimo)}, \quad f''(2) = -\tfrac16 < 0 \text{ (máximo)}\;}

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Estrategia

Dos extremos relativos

\Rightarrow

dos condiciones sobre la derivada:

f'(1) = 0 \qquad \text{y} \qquad f'(2) = 0

Justo dos ecuaciones para dos incógnitas: un sistema lineal

2\times 2

.

Para clasificarlos en b) se usa la segunda derivada. Conviene simplificarla antes de evaluar: al reducir a común denominador queda un cociente cuyo signo se lee de un vistazo.

Desarrollo

a) Derivada.

f'(x) = \frac{a}{x} + 2b\,x + 1

Las dos condiciones.

f'(1) = a + 2b + 1 = 0

f'(2) = \frac{a}{2} + 4b + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; a + 8b + 2 = 0 \quad (\times 2)

Sistema. Restando la primera de la segunda:

6b + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; b = -\frac{1}{6}

a = -2b - 1 = \frac13 - 1 = -\frac{2}{3}

a = -\frac{2}{3}, \qquad b = -\frac{1}{6}

(Comprobación: $f'(x) = -\dfrac{2}{3x} - \dfrac{x}{3} + 1$ . En $x=1$ : $-\tfrac23 - \tfrac13 + 1 = 0\;\checkmark$ ; en $x=2$ : $-\tfrac13 - \tfrac23 + 1 = 0\;\checkmark$ )

b) Segunda derivada.

f''(x) = -\frac{a}{x^{2}} + 2b = \frac{2}{3x^{2}} - \frac{1}{3} = \frac{2 - x^{2}}{3x^{2}}

Como

3x^{2} > 0

en el dominio

x>0

, el signo lo marca

2 - x^{2}

f''(1) = \frac{2 - 1}{3} = \frac{1}{3} > 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{mínimo relativo}

f''(2) = \frac{2 - 4}{12} = -\frac{1}{6} < 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{máximo relativo}

(Tiene sentido: $f''$ cambia de signo en $x = \sqrt2 \approx 1{,}41$ , que está justo entre $1$ y $2$ . La función baja hasta $x=1$ , sube entre $1$ y $2$ , y vuelve a bajar.)

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Consejo

Al derivar $a\ln x$ sale $\dfrac{a}{x}$ , y al volver a derivar, $-\dfrac{a}{x^{2}}$ (con signo menos). Ese cambio de signo es lo que decide la clasificación de los extremos: si lo pierdes, los intercambias.

Quita denominadores antes de resolver el sistema: multiplicar $f'(2)=0$ por $2$ deja dos ecuaciones con coeficientes enteros y la resta es inmediata.

Es perfectamente normal que un mínimo ( $x=1$ ) esté a la izquierda de un máximo ( $x=2$ ): entre ambos la función crece. Lo que sería imposible es que dos mínimos consecutivos no tuvieran un máximo en medio.