Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2011 · Reserva 6 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Se desea construir un depósito cilíndrico cerrado de área total igual a

54\ \text{m}^{2}

.

Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que éste tenga volumen máximo.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;S = 2\pi r^{2}+2\pi rh = 54 \;\Longrightarrow\; h = \frac{27}{\pi r}-r\;}

\boxed{\;V(r) = \pi r^{2}h = 27r-\pi r^{3}\;}

\boxed{\;V'(r) = 27-3\pi r^{2} = 0 \Rightarrow r = \frac{3}{\sqrt\pi} \quad (V'' = -6\pi r<0)\;}

\boxed{\;r = \frac{3}{\sqrt\pi}\approx1{,}69\ \text{m}, \quad h = \frac{6}{\sqrt\pi}\approx3{,}39\ \text{m} = 2r\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cilindro cerrado significa que el área total incluye las dos tapas:

S = \underbrace{2\pi r^{2}}_{\text{dos bases}}+\underbrace{2\pi r h}_{\text{lateral}} = 54

Se despeja

h

de ahí y se sustituye en

V = \pi r^{2}h

. Lo bonito es que el

\pi

del denominador se cancela y queda un polinomio cúbico muy fácil de derivar.

Desarrollo

La ligadura.

2\pi r^{2}+2\pi r h = 54 \;\Longrightarrow\; h = \frac{54-2\pi r^{2}}{2\pi r} = \frac{27}{\pi r}-r

El volumen.

V(r) = \pi r^{2}h = \pi r^{2}\left(\frac{27}{\pi r}-r\right) = 27r-\pi r^{3}

Derivamos.

V'(r) = 27-3\pi r^{2} = 0 \;\Longrightarrow\; r^{2} = \frac{9}{\pi} \;\Longrightarrow\; r = \frac{3}{\sqrt\pi} \approx 1{,}69 \ \text{m}

Es máximo:

V''(r) = -6\pi r < 0 \quad \text{para } r>0 \;\checkmark

La altura.

h = \frac{27}{\pi\cdot\dfrac{3}{\sqrt\pi}}-\frac{3}{\sqrt\pi} = \frac{27}{3\sqrt\pi}-\frac{3}{\sqrt\pi} = \frac{9-3}{\sqrt\pi} = \frac{6}{\sqrt\pi} \approx 3{,}39 \ \text{m}

\boxed{h = 2r} \quad \text{(la altura es el diámetro de la base)}

El volumen máximo.

V = 27r-\pi r^{3} = r\,\bigl(27-\pi r^{2}\bigr) = r\,(27-9) = 18r = \frac{54}{\sqrt\pi} \approx 30{,}47 \ \text{m}^{3}

Comprobación del área.

2\pi\cdot\frac{9}{\pi}+2\pi\cdot\frac{3}{\sqrt\pi}\cdot\frac{6}{\sqrt\pi} = 18+\frac{36\pi}{\pi} = 18+36 = 54 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cilindro cerrado $\Rightarrow$ dos tapas: $S = 2\pi r^{2}+2\pi rh$ . Si fuera abierto por arriba, sería $\pi r^{2}+2\pi rh$ y el resultado cambiaría.

Al sustituir, el $\pi$ se simplifica y $V$ queda como un polinomio: $27r-\pi r^{3}$ . No arrastres la fracción $\frac{27}{\pi r}$ dentro de la derivada; simplifica primero.

La relación $h = 2r$ es el sello de este problema: el cilindro óptimo tiene la altura igual al diámetro. Si no te sale, revisa la ligadura.