Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2017 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. Considera la función dada por

f(x) = \sqrt{3 + |x|}

para

x\in[-3,3]

.

a) [0,5 puntos] Expresa la función

f

definida a trozos.

b) [2 puntos] Halla

\displaystyle\int_{-3}^{3} f(x)\,dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad f(x) = \sqrt{3-x} \text{ si } -3\leq x<0; \qquad f(x) = \sqrt{3+x} \text{ si } 0\leq x\leq 3\;}

\boxed{\;f \text{ es par} \;\Longrightarrow\; \int_{-3}^{3} f = 2\int_{0}^{3}\sqrt{3+x}\,dx = \frac43\Bigl[(3+x)^{3/2}\Bigr]_{0}^{3}\;}

\boxed{\;= 8\sqrt6 - 4\sqrt3 \approx 12{,}67\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El valor absoluto se abre en el origen, así que

f

queda definida en dos trozos y la integral hay que partirla en $x=0$ .

Pero hay un atajo:

f

es una función par, porque

|-x| = |x|

. En un intervalo simétrico como

[-3,3]

eso permite escribir

\int_{-3}^{3} f = 2\int_{0}^{3} f

y calcular una sola integral, de una raíz inmediata.

Desarrollo

a) La función a trozos. Como

|x| = -x

x<0

|x| = x

x\geq 0

f(x) = \begin{cases} \sqrt{3 - x} & \text{si } -3 \leq x < 0 \\[4pt] \sqrt{3 + x} & \text{si } \phantom{-}0 \leq x \leq 3\end{cases}

(En $x=0$ las dos ramas valen $\sqrt3$ : la función es continua.)

b) La integral. Aprovechando que

f

es par:

\int_{-3}^{3}\sqrt{3+|x|}\;dx = 2\int_{0}^{3}\sqrt{3+x}\;dx

Primitiva.

\int (3+x)^{1/2}dx = \frac{(3+x)^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}\,(3+x)^{3/2}

Evaluación.

2\left[\frac{2}{3}(3+x)^{3/2}\right]_{0}^{3} = \frac{4}{3}\left[6^{3/2} - 3^{3/2}\right]

Con

6^{3/2} = 6\sqrt6

3^{3/2} = 3\sqrt3

= \frac{4}{3}\bigl(6\sqrt6 - 3\sqrt3\bigr) = 8\sqrt{6} - 4\sqrt{3}

\int_{-3}^{3} f(x)\,dx = 8\sqrt6 - 4\sqrt3 \approx 19{,}60 - 6{,}93 = 12{,}67

(Sin usar la paridad: $\int_{-3}^{0}\sqrt{3-x}\,dx = \left[-\tfrac23(3-x)^{3/2}\right]_{-3}^{0} = 4\sqrt6 - 2\sqrt3$ , y el otro tramo da lo mismo. Suman igual.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Abre el valor absoluto antes de integrar y anota en qué intervalo vale cada rama. Aquí hay una sutileza: $|x| = -x$ para $x<0$ , así que la primera rama es $\sqrt{3-x}$ (con signo menos), no $\sqrt{3+x}$ .

Aprovecha la paridad: $f(-x) = f(x)$ , y el intervalo es simétrico, así que basta con integrar de $0$ a $3$ y multiplicar por dos. Menos cuentas y menos signos que vigilar.

Al integrar $(3+x)^{1/2}$ , el exponente sube a $\tfrac32$ y hay que dividir entre $\tfrac32$ , es decir, multiplicar por $\tfrac23$ . Y recuerda que $6^{3/2} = 6\sqrt6$ , no $\sqrt{18}$ ni $9$ .