Integrales

a) Cortes con el eje de abscisas.

Trozo $x < 0$:$$2x + 4 = 0 \;\Longrightarrow\; x = -2 \quad (\text{cumple } x < 0 \;\checkmark)$$Trozo $x \geq 0$:$$(x - 2)^{2} = 0 \;\Longrightarrow\; x = 2 \quad (\text{cumple } x \geq 0 \;\checkmark)$$Los puntos de corte son $(-2, 0)$ y $(2, 0)$.

Esbozo. Para $x < 0$ la gráfica es la recta $y = 2x + 4$, creciente, que va desde el punto $(-2,0)$ hasta acercarse a $(0, 4)$. Para $x \geq 0$ es la parábola $y = (x-2)^{2}$, con vértice en $(2, 0)$, que empieza en $f(0) = 4$, decrece hasta el vértice y luego vuelve a subir.

(La función es continua en $x = 0$: los dos trozos valen $4$ ahí. En cambio no es derivable, porque la pendiente pasa de $2$ a $-4$.)

Signo de $f$. En $(-2, 0)$ la recta es positiva; en $(0, 2)$ la parábola es positiva (solo se anula en el vértice). Fuera de $[-2, 2]$ la recta es negativa a la izquierda de $-2$ y la parábola vuelve a crecer indefinidamente a la derecha de $2$: el recinto cerrado entre la gráfica y el eje es exactamente el de $x \in [-2, 2]$.

b) Área. Se parte la integral en $x = 0$ porque cambia la definición de $f$:$$A = \int_{-2}^{0} (2x + 4)\,dx + \int_{0}^{2} (x-2)^{2}\,dx$$Primer tramo:$$\int_{-2}^{0} (2x+4)\,dx = \Bigl[x^{2} + 4x\Bigr]_{-2}^{0} = 0 - \bigl(4 - 8\bigr) = 4$$(Es un triángulo de base $2$ y altura $4$: $\frac{2\cdot 4}{2} = 4$. Buena comprobación.)

Segundo tramo:$$\int_{0}^{2} (x-2)^{2}\,dx = \left[\frac{(x-2)^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = 0 - \frac{(-2)^{3}}{3} = \frac{8}{3}$$Área total.$$A = 4 + \frac{8}{3} = \frac{12 + 8}{3} = \frac{20}{3} \approx 6{,}67 \ \text{unidades cuadradas}$$