Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2022 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 4 (bloque A). Considera las funciones

f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definidas por

f(x) = 1 - x^{2} \qquad \text{y} \qquad g(x) = 2x^{2}

a) [1,25 puntos] Calcula los puntos de corte de las gráficas de

f

g

. Esboza el recinto que delimitan.

b) [1,25 puntos] Determina el área del recinto anterior.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \left(-\frac{\sqrt{3}}{3},\, \frac{2}{3}\right) \quad \text{y} \quad \left(\frac{\sqrt{3}}{3},\, \frac{2}{3}\right)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad A = \int_{-1/\sqrt{3}}^{1/\sqrt{3}}\bigl(1 - 3x^{2}\bigr)dx = \frac{4\sqrt{3}}{9} \approx 0{,}77 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Dos parábolas, una hacia abajo y otra hacia arriba, que se cortan en dos puntos simétricos respecto del eje

OY

. El recinto es único y está claramente acotado.

Todo es rutinario, pero conviene aprovechar dos cosas:

Las dos funciones son pares, así que el recinto es simétrico respecto del eje $OY$ y se puede integrar de $0$ a $1/\sqrt{3}$ y duplicar.
Racionalizar el resultado al final, porque $\dfrac{4}{3\sqrt{3}}$ se presenta mejor como $\dfrac{4\sqrt{3}}{9}$ .

Desarrollo

a) Puntos de corte.

1 - x^{2} = 2x^{2} \;\Longrightarrow\; 1 = 3x^{2} \;\Longrightarrow\; x^{2} = \frac{1}{3} \;\Longrightarrow\; x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}

La ordenada común es

g\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}

Los puntos de corte son

\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},\; \frac{2}{3}\right) \qquad \text{y} \qquad \left(\frac{\sqrt{3}}{3},\; \frac{2}{3}\right)

Esbozo.

f

es una parábola hacia abajo con vértice en

(0,1)

, que corta al eje

OX

x = \pm 1

g

es una parábola hacia arriba, más estrecha, con vértice en el origen. El recinto que delimitan tiene forma de lente (una "lenteja") apoyada sobre el origen, con los dos vértices laterales en los puntos de corte.

Qué función va por encima. En

x = 0

f(0) = 1 > 0 = g(0)

luego

f

está por encima de

g

en todo el intervalo

\left(-\frac{1}{\sqrt3}, \frac{1}{\sqrt3}\right)

.

b) Área.

A = \int_{-1/\sqrt{3}}^{1/\sqrt{3}}\Bigl(\bigl(1 - x^{2}\bigr) - 2x^{2}\Bigr)dx = \int_{-1/\sqrt{3}}^{1/\sqrt{3}}\bigl(1 - 3x^{2}\bigr)dx

Usando la simetría (el integrando es par):

A = 2\int_{0}^{1/\sqrt{3}}\bigl(1 - 3x^{2}\bigr)dx = 2\Bigl[x - x^{3}\Bigr]_{0}^{1/\sqrt{3}}

= 2\left(\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{3\sqrt{3}}\right) = 2\cdot\frac{3 - 1}{3\sqrt{3}} = \frac{4}{3\sqrt{3}}

Racionalizando:

A = \frac{4}{3\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{9} \approx 0{,}77 \ \text{unidades cuadradas}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El integrando es $f - g$ , es decir $1 - 3x^{2}$ , no $1 - x^{2} - x^{2}$ . Con dos parábolas es fácil restar mal los coeficientes; escribe la diferencia completa antes de integrar.

Aprovecha la paridad: integrar de $0$ a $1/\sqrt{3}$ y multiplicar por dos evita manejar el límite negativo y reduce a la mitad las oportunidades de equivocarse con los signos. Y racionaliza el resultado; $\frac{4\sqrt{3}}{9}$ es la forma en la que se espera ver la respuesta.