Opción A · Ejercicio 1. Considera la función f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x) = \begin{cases} a x^{2}+3x & \text{si } x\leq2 \\ x^{2}-b x-4 & \text{si } x>2\end{cases} a) [1,5 puntos] Halla a y b sabiendo que f es derivable en \mathbb{R}. b) [1 punto] Determina la recta tangente y la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 3.

Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2008 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. Considera la función

f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

definida por

f(x) = \begin{cases} a x^{2}+3x & \text{si } x\leq2 \\ x^{2}-b x-4 & \text{si } x>2\end{cases}

a) [1,5 puntos] Halla

a

b

sabiendo que

f

es derivable en

\mathbb{R}

.

b) [1 punto] Determina la recta tangente y la recta normal a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 3

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Continuidad}: \ 4a+6 = -2b \;\Longrightarrow\; b = -2a-3\;}

\boxed{\;\text{Derivabilidad}: \ 4a+3 = 4-b \;\Longrightarrow\; b = 1-4a\;}

\boxed{\;a = 2, \quad b = -7\;}

\boxed{\;f(3) = 26, \ f'(3) = 13: \ \text{Tang. } y = 13x-13; \ \text{Normal } y = -\tfrac{x}{13}+\tfrac{341}{13}\;}

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Estrategia

a) "Derivable" son dos condiciones en $x=2$ : continuidad e igualdad de derivadas laterales. Dan un sistema $2\times2$ en $a$ y $b$ .
b) Como $3>2$ , se usa el segundo trozo. Rutina: $f(3)$ , $f'(3)$ , y las dos rectas (la normal con pendiente $-\frac{1}{f'(3)}$ ).

Desarrollo

a) Las dos condiciones.

Continuidad en $x = 2$ :

f(2^{-}) = 4a+6 \qquad f(2^{+}) = 4-2b-4 = -2b

4a+6 = -2b \;\Longrightarrow\; b = -2a-3 \qquad \text{(1)}

Derivabilidad en $x = 2$ :

f'(x) = \begin{cases} 2ax+3 & \text{si } x<2 \\ 2x-b & \text{si } x>2\end{cases}

f'(2^{-}) = 4a+3 \qquad f'(2^{+}) = 4-b

4a+3 = 4-b \;\Longrightarrow\; b = 1-4a \qquad \text{(2)}

Igualando (1) y (2).

-2a-3 = 1-4a \;\Longrightarrow\; 2a = 4 \;\Longrightarrow\; a = 2

b = 1-8 = -7

a = 2, \qquad b = -7

La función queda

f(x) = \begin{cases} 2x^{2}+3x & \text{si } x\leq2 \\ x^{2}+7x-4 & \text{si } x>2\end{cases}

Comprobaciones.

\;f(2^{-}) = 8+6 = 14

f(2^{+}) = 4+14-4 = 14

\checkmark

;

\;f'(2^{-}) = 8+3 = 11

f'(2^{+}) = 4+7 = 11

\checkmark

b) Las rectas en $x = 3$ . Como

3>2

, usamos

f(x) = x^{2}+7x-4

f(3) = 9+21-4 = 26 \;\Longrightarrow\; \text{el punto es } (3,\,26)

f'(x) = 2x+7 \;\Longrightarrow\; f'(3) = 13

Tangente (pendiente

13

y-26 = 13\,(x-3) \;\Longrightarrow\; y = 13x-13

Normal (pendiente

-\dfrac{1}{13}

y-26 = -\frac{1}{13}\,(x-3) \;\Longrightarrow\; y = -\frac{x}{13}+\frac{341}{13}

Comprobación: el producto de pendientes es

\;13\cdot\left(-\frac{1}{13}\right) = -1

\;\checkmark

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Consejo

"Derivable" incluye "continua": son dos ecuaciones. Con solo la igualdad de derivadas, el sistema quedaría indeterminado.

En b), $x = 3$ está en el segundo tramo ( $x>2$ ). Usar la fórmula del primero es el error más frecuente de este tipo de apartado.

Cuidado con el signo de $b$ : sale negativo ( $b = -7$ ), así que el segundo trozo es $x^{2}+7x-4$ . Sustituir mal el signo estropea todo el apartado b).