Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2009 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Se considera la función

f\colon[1,+\infty)\to\mathbb{R}

definida por

f(x) = \sqrt{x^{2}-x}+x

Determina la asíntota de la gráfica de

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Dominio } [1,+\infty): \text{ no hay asíntotas verticales ni horizontales}\;}

\boxed{\;m = \lim_{x\to\infty}\left[\sqrt{1-\tfrac1x}+1\right] = 2\;}

\boxed{\;n = \lim_{x\to\infty}\bigl[\sqrt{x^{2}-x}-x\bigr] = \lim\frac{-x}{\sqrt{x^{2}-x}+x} = -\frac12\;}

\boxed{\;y = 2x-\frac12\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El dominio es

[1,+\infty)

, así que solo cabe estudiar el comportamiento en

+\infty

: no hay asíntotas verticales (

f

es continua en todo su dominio, incluido el extremo

x=1

, donde vale

1

) ni horizontales (la función tiende a

+\infty

).

Queda la asíntota oblicua

y = mx+n

, con

m = \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x} \qquad n = \lim_{x\to+\infty}\bigl[f(x)-mx\bigr]

El segundo límite es del tipo

\infty-\infty

: se resuelve multiplicando y dividiendo por el conjugado.

Desarrollo

Descartamos otras asíntotas.

Verticales: el dominio es $[1,+\infty)$ y $f$ es continua en él (la raíz $\sqrt{x^{2}-x}$ está definida porque $x^{2}-x = x(x-1)\geq0$ para $x\geq1$ ). No hay.
Horizontales: $\;\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) = +\infty$ . No hay.

La pendiente $m$ .

m = \lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-x}+x}{x} = \lim_{x\to+\infty}\left[\frac{\sqrt{x^{2}-x}}{x}+1\right]

Como

x>0

, se puede meter la

x

dentro de la raíz:

\frac{\sqrt{x^{2}-x}}{x} = \sqrt{\frac{x^{2}-x}{x^{2}}} = \sqrt{1-\frac1x} \;\longrightarrow\; \sqrt1 = 1

m = 1+1 = 2

La ordenada $n$ .

n = \lim_{x\to+\infty}\Bigl[\sqrt{x^{2}-x}+x-2x\Bigr] = \lim_{x\to+\infty}\Bigl[\sqrt{x^{2}-x}-x\Bigr]

Es una indeterminación

\infty-\infty

. Multiplicamos y dividimos por el conjugado:

\sqrt{x^{2}-x}-x = \frac{\bigl(\sqrt{x^{2}-x}-x\bigr)\bigl(\sqrt{x^{2}-x}+x\bigr)}{\sqrt{x^{2}-x}+x} = \frac{\bigl(x^{2}-x\bigr)-x^{2}}{\sqrt{x^{2}-x}+x} = \frac{-x}{\sqrt{x^{2}-x}+x}

Dividiendo numerador y denominador entre $x$ :

= \frac{-1}{\sqrt{1-\frac1x}+1} \;\longrightarrow\; \frac{-1}{1+1} = -\frac12

n = -\frac12

\textbf{Asíntota oblicua: } y = 2x-\frac12

Comprobación numérica. En

x = 100

f(100) = \sqrt{9900}+100 \approx 99{,}499+100 = 199{,}499

2\cdot100-\tfrac12 = 199{,}5 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para $\infty-\infty$ con raíces, el recurso estándar es el conjugado: multiplicar y dividir por $\sqrt{\cdot}+x$ convierte la diferencia en un cociente manejable.

Al meter la $x$ dentro de la raíz, ojo con el signo: solo vale $\frac{\sqrt{u}}{x} = \sqrt{\frac{u}{x^{2}}}$ si $x>0$ . Aquí el dominio lo garantiza.

Comprueba numéricamente con un valor grande: si $f(100)$ y $2(100)-\frac12$ casi coinciden, la asíntota es correcta. Es una verificación de diez segundos.