Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2014 · Septiembre · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Sabiendo que

\lim_{x\to 0}\frac{\cos(3x)-e^{x}+a\,x}{x\,\mathrm{sen}\,(x)}

es finito, calcula

a

y el valor del límite.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{L'H 1: } \lim_{x\to0}\frac{-3\,\mathrm{sen}(3x)-e^{x}+a}{\mathrm{sen}\,x+x\cos x}; \quad \text{denominador}\to0 \Rightarrow -1+a = 0\;}

\boxed{\;a = 1\;}

\boxed{\;\text{L'H 2: } \lim_{x\to0}\frac{-9\cos(3x)-e^{x}}{2\cos x-x\,\mathrm{sen}\,x} = \frac{-10}{2} = -5\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El denominador

x\,\mathrm{sen}\,x

es un infinitésimo de orden $2$ (porque

\mathrm{sen}\,x\sim x

). El numerador, en

x=0

, vale

\cos 0-e^{0}+0 = 0

, así que ya hay indeterminación

\frac00

para cualquier

a

.

La condición de que el límite sea finito obliga a que el numerador no tenga término de grado 1: si lo tuviera, el cociente se comportaría como

\frac{kx}{x^{2}}\to\infty

. Esa es la ecuación que da

a

.

Se puede razonar con L'Hôpital (dos veces) o con desarrollos de Taylor. Usaremos L'Hôpital.

Desarrollo

Primera aplicación de L'Hôpital. Numerador y denominador tienden a

0

\lim_{x\to0}\frac{-3\,\mathrm{sen}(3x)-e^{x}+a}{\mathrm{sen}\,x+x\cos x}

El denominador tiende a $0$ (

\mathrm{sen}\,0+0 = 0

). Para que el límite sea finito, el numerador también debe tender a

0

-3\,\mathrm{sen}\,0-e^{0}+a = -1+a = 0 \;\Longrightarrow\; a = 1

Segunda aplicación de L'Hôpital. Con

a=1

volvemos a tener

\frac00

\lim_{x\to0}\frac{-3\,\mathrm{sen}(3x)-e^{x}+1}{\mathrm{sen}\,x+x\cos x} = \lim_{x\to0}\frac{-9\cos(3x)-e^{x}}{2\cos x-x\,\mathrm{sen}\,x}

Sustituyendo $x=0$ :

\frac{-9\cdot1-1}{2\cdot1-0} = \frac{-10}{2} = -5

a = 1, \qquad \lim_{x\to0}\frac{\cos(3x)-e^{x}+x}{x\,\mathrm{sen}\,x} = -5

Comprobación con desarrollos de Taylor. Cerca de

0

\cos(3x) = 1-\frac{9x^{2}}{2}+\cdots \qquad e^{x} = 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\cdots

\cos(3x)-e^{x}+ax = (a-1)\,x-5x^{2}+\cdots

Para que el límite sea finito hace falta

a=1

, y entonces

\frac{-5x^{2}+\cdots}{x^{2}+\cdots} \longrightarrow -5 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La condición clave es que el límite sea finito, y se aplica tras la primera derivada: como el denominador tiende a $0$ , el numerador está obligado a hacer lo mismo. De ahí sale $a=1$ sin usar todavía el valor del límite.

Al derivar $\cos(3x)$ no olvides la regla de la cadena: $-3\,\mathrm{sen}(3x)$ , y en el segundo paso $-9\cos(3x)$ . Perder un $3$ cambia el resultado a $-1$ en vez de $-5$ .

Los desarrollos de Taylor ( $\cos u \approx 1-\frac{u^{2}}{2}$ , $e^{x}\approx1+x+\frac{x^{2}}{2}$ ) resuelven el ejercicio en cuatro líneas. Úsalos al menos como comprobación.