Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2013 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en un triángulo isósceles de

6

metros de base (el lado desigual) y

4

metros de alto.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Vértices } (\pm3,0) \text{ y } (0,4); \ \text{lado derecho } y = 4-\frac{4x}{3}\;}

\boxed{\;A(u) = 2u\left(4-\frac{4u}{3}\right) = 8u-\frac{8u^{2}}{3}, \qquad 0<u<3\;}

\boxed{\;A'(u) = 8-\frac{16u}{3} = 0 \;\Longrightarrow\; u = \frac32 \quad (A'' <0)\;}

\boxed{\;\text{Base } 3 \ \text{m}, \ \text{altura } 2 \ \text{m}, \ A_{\max} = 6 \ \text{m}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo primero es poner coordenadas: con el triángulo apoyado en el eje

OX

y simétrico respecto del eje

OY

, los vértices son

(-3,\,0), \qquad (3,\,0), \qquad (0,\,4)

El rectángulo inscrito tiene la base sobre

OX

y los dos vértices superiores sobre los lados oblicuos. Por simetría, si el vértice superior derecho está en

(u,h)

con

0<u<3

, la base mide

2u

y la altura es la ordenada del lado derecho en

x=u

.

El lado derecho une

(3,0)

con

(0,4)

: su ecuación es

\;y = 4-\dfrac{4x}{3}

.

Con eso, el área queda en una sola variable y es una parábola invertida.

Desarrollo

La altura en función de $u$ . El vértice superior derecho está sobre el lado

y = 4-\frac{4x}{3}

h = 4-\frac{4u}{3}

(Como $0<u<3$ , se cumple $0<h<4$ $\checkmark$ )

El área. Base

2u

por altura

h

A(u) = 2u\left(4-\frac{4u}{3}\right) = 8u-\frac{8u^{2}}{3}, \qquad 0<u<3

Derivada y punto crítico.

A'(u) = 8-\frac{16u}{3} = 0 \;\Longrightarrow\; 16u = 24 \;\Longrightarrow\; u = \frac{3}{2}

Es máximo.

A''(u) = -\frac{16}{3} < 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{máximo}

(También se ve directamente: $A$ es una parábola con las ramas hacia abajo.)

Las dimensiones.

\text{Base} = 2u = 3 \ \text{m} \qquad \text{Altura} = 4-\frac{4}{3}\cdot\frac32 = 4-2 = 2 \ \text{m}

\textbf{Rectángulo de } 3 \times 2 \ \text{m}

El área máxima.

A = 3\cdot 2 = 6 \ \text{m}^{2}

(Obsérvese el patrón: la base del rectángulo es la mitad de la del triángulo y su altura, la mitad de la del triángulo; y su área es la mitad de la del triángulo, que vale $\frac{6\cdot4}{2} = 12$ m $^{2}$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Pon coordenadas desde el principio. Sin ellas es muy difícil relacionar la base y la altura del rectángulo; con ellas, la relación sale de la ecuación de un lado del triángulo.

Aprovecha la simetría: si el vértice derecho está en $x=u$ , la base entera mide $2u$ , no $u$ . Olvidar ese factor $2$ es el error más frecuente (aunque aquí no cambiaría el punto óptimo, sí el área).

Delimita el dominio $0<u<3$ : garantiza que el rectángulo existe y que la altura es positiva. Y comprueba el resultado con el patrón conocido: el rectángulo óptimo ocupa la mitad del triángulo.