Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2017 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Una cuerda de un metro de longitud se divide en dos trozos con los que se construyen un cuadrado y una circunferencia respectivamente.

Determina, si es posible, las longitudes de los trozos para que la suma de las áreas sea mínima.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;A_{c} = \frac{x^{2}}{16}, \qquad A_{\bigcirc} = \frac{(1-x)^{2}}{4\pi}\;}

\boxed{\;S(x) = \frac{x^{2}}{16} + \frac{(1-x)^{2}}{4\pi}; \qquad S'(x) = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{4}{\pi+4}\;}

\boxed{\;\text{Cuadrado: } \frac{4}{\pi+4} \approx 0{,}56 \ \text{m}; \quad \text{circunferencia: } \frac{\pi}{\pi+4} \approx 0{,}44 \ \text{m}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Problema clásico de reparto. Si un trozo mide

x

metros, el otro mide

1-x

, y con eso hay una sola variable desde el principio.

Lo delicado es pasar de longitud a área en cada figura:

Cuadrado de perímetro $x$ : lado $\dfrac{x}{4}$ , área $\dfrac{x^{2}}{16}$ .
Circunferencia de longitud $1-x$ : radio $\dfrac{1-x}{2\pi}$ , área $\pi r^{2} = \dfrac{(1-x)^{2}}{4\pi}$ .

La suma es una parábola en

x

, así que el mínimo es directo.

Desarrollo

Variables. Sea

x

la longitud del trozo destinado al cuadrado, con

0 < x < 1

; el otro mide

1-x

.

Área del cuadrado.

\text{lado} = \frac{x}{4} \;\Longrightarrow\; A_{c} = \frac{x^{2}}{16}

Área del círculo. De

2\pi r = 1-x

r = \frac{1-x}{2\pi} \;\Longrightarrow\; A_{\bigcirc} = \pi r^{2} = \pi\cdot\frac{(1-x)^{2}}{4\pi^{2}} = \frac{(1-x)^{2}}{4\pi}

Función objetivo.

S(x) = \frac{x^{2}}{16} + \frac{(1-x)^{2}}{4\pi}, \qquad x\in(0,1)

Derivada.

S'(x) = \frac{x}{8} - \frac{1-x}{2\pi} = \frac{\pi x - 4\,(1-x)}{8\pi} = \frac{(\pi+4)x - 4}{8\pi}

Punto crítico.

(\pi+4)\,x - 4 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{4}{\pi+4} \approx 0{,}560 \ \text{m}

Es mínimo.

S''(x) = \frac{\pi + 4}{8\pi} > 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{mínimo}

(También se ve porque $S$ es una parábola con el coeficiente de $x^{2}$ positivo.)

Las longitudes.

\text{cuadrado: } \frac{4}{\pi+4} \approx 0{,}560 \ \text{m}, \qquad \text{circunferencia: } \frac{\pi}{\pi+4} \approx 0{,}440 \ \text{m}

Área mínima.

S_{\min} = \frac{1}{4\,(\pi+4)} \approx 0{,}035 \ \text{m}^{2}

(Interpretación bonita: en el óptimo, el lado del cuadrado es el doble del radio del círculo, es decir, el círculo queda exactamente inscrito en el cuadrado.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Llama $x$ a una de las longitudes y escribe la otra como $1-x$ : así el problema es de una sola variable desde el principio, sin necesidad de despejar nada.

El paso que hay que hacer con cuidado es convertir longitud en área. Para el círculo, primero se despeja el radio de $2\pi r = 1-x$ y luego se eleva al cuadrado. Usar $1-x$ como radio (o como diámetro) es el error típico.

Da la respuesta en metros y comprueba que ambas longitudes son positivas y suman $1$ : $\frac{4}{\pi+4} + \frac{\pi}{\pi+4} = 1\;\checkmark$ . Es una verificación instantánea de que el reparto tiene sentido.