Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2010 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Sea la función

f

dada por

f(x) = \frac{1}{x^{2}+x} \qquad \text{para } x\neq-1 \ \text{ y } \ x\neq0

Determina la primitiva

F

f

tal que

\;F(1) = 1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;x^{2}+x = x\,(x+1); \quad \frac{1}{x(x+1)} = \frac1x-\frac{1}{x+1}\;}

\boxed{\;F(x) = \ln|x|-\ln|x+1|+C = \ln\left|\frac{x}{x+1}\right|+C\;}

\boxed{\;F(1) = -\ln2+C = 1 \;\Longrightarrow\; C = 1+\ln2\;}

\boxed{\;F(x) = \ln\left|\frac{x}{x+1}\right|+1+\ln2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Función racional con denominador factorizable:

x^{2}+x = x\,(x+1)

Se descompone en fracciones simples, se integra (dos logaritmos) y se fija la constante con la condición

F(1) = 1

.

Conviene agrupar los logaritmos al final:

\ln|x|-\ln|x+1| = \ln\left|\dfrac{x}{x+1}\right|

, más compacto y más fácil de evaluar.

Desarrollo

Fracciones simples.

\frac{1}{x\,(x+1)} = \frac{A}{x}+\frac{B}{x+1} \;\Longrightarrow\; 1 = A\,(x+1)+B\,x

Con $x = 0$ :

\;1 = A \Longrightarrow A = 1

Con $x = -1$ :

\;1 = -B \Longrightarrow B = -1

f(x) = \frac1x-\frac{1}{x+1}

Integramos.

F(x) = \int\left[\frac1x-\frac{1}{x+1}\right]dx = \ln|x|-\ln|x+1|+C

F(x) = \ln\left|\frac{x}{x+1}\right|+C

La condición $F(1) = 1$ .

F(1) = \ln\frac12+C = -\ln2+C = 1 \;\Longrightarrow\; C = 1+\ln2

F(x) = \ln\left|\frac{x}{x+1}\right|+1+\ln2

Comprobaciones.

F(1) = -\ln2+1+\ln2 = 1 \;\checkmark

Derivando:

F'(x) = \frac1x-\frac{1}{x+1} = \frac{(x+1)-x}{x\,(x+1)} = \frac{1}{x^{2}+x} = f(x) \;\checkmark

(Nota: se puede escribir también como $F(x) = \ln\left|\dfrac{2x}{x+1}\right|+1$ , metiendo el $\ln2$ dentro del logaritmo.)

(Precisión: el dominio de $f$ son tres intervalos separados, y la condición $F(1) = 1$ fija la constante en el que contiene a $x=1$ , es decir, en $(0,+\infty)$ . Es la respuesta que se pide.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para hallar $A$ y $B$ , sustituye las raíces del denominador ( $x=0$ y $x=-1$ ): cada una anula un sumando y da la otra constante de golpe.

Agrupa los dos logaritmos en uno solo antes de imponer la condición: evaluar $\ln\left|\frac{1}{2}\right|$ es más directo que $\ln1-\ln2$ .

"Determina la primitiva tal que..." significa fijar la constante. Dejar el $+C$ es responder solo a medias.