Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2012 · Reserva 5 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. Sea la función

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

definida por

f(x) = \ln\bigl(x^{2}+3x+3\bigr)-x

, donde

\ln

denota la función logaritmo neperiano.

a) [1,5 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de

f

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b) [1 punto] Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = -2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;x^{2}+3x+3>0 \ \forall x \ (\Delta = -3<0) \;\Longrightarrow\; \text{dominio } \mathbb{R}\;}

\boxed{\;f'(x) = \frac{-x\,(x+1)}{x^{2}+3x+3} = 0 \;\Longrightarrow\; x = -1,\ x = 0\;}

\boxed{\;\text{Decrece en } (-\infty,-1)\cup(0,\infty), \ \text{crece en } (-1,0); \ \text{mín } (-1,1), \ \text{máx } (0,\ln3)\;}

\boxed{\;\text{b) } f(-2) = 2, \ f'(-2) = -2 \;\Longrightarrow\; m_{N} = \tfrac12: \quad y = \tfrac x2+3\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Antes de nada conviene justificar que el dominio es todo $\mathbb{R}$ : el argumento del logaritmo,

x^{2}+3x+3

, tiene discriminante

\Delta = 9-12 = -3 < 0

y coeficiente principal positivo, luego es siempre positivo. Por eso el enunciado puede decir

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

.

Al derivar y unir en una sola fracción, el denominador es ese mismo trinomio (positivo), así que el signo lo decide solo el numerador.

Desarrollo

El dominio. Como

x^{2}+3x+3>0

para todo

x

(discriminante negativo),

f

está definida en

\mathbb{R}

.

a) La derivada.

f'(x) = \frac{2x+3}{x^{2}+3x+3}-1 = \frac{2x+3-\bigl(x^{2}+3x+3\bigr)}{x^{2}+3x+3} = \frac{-x^{2}-x}{x^{2}+3x+3}

f'(x) = \frac{-x\,(x+1)}{x^{2}+3x+3}

Puntos críticos. El denominador es positivo, así que el signo es el de

-x(x+1)

x = -1 \quad \text{o} \quad x = 0

Signo de $f'$ .

x<-1: \; -x>0, \ x+1<0 \;\Rightarrow\; f'<0 \;\Rightarrow\; \textbf{decrece}

-1<x<0: \; -x>0, \ x+1>0 \;\Rightarrow\; f'>0 \;\Rightarrow\; \textbf{crece}

x>0: \; -x<0, \ x+1>0 \;\Rightarrow\; f'<0 \;\Rightarrow\; \textbf{decrece}

\text{Decrece en } (-\infty,-1)\cup(0,+\infty) \qquad \text{Crece en } (-1,\,0)

Los extremos.

x = -1: \ \text{de decrecer a crecer} \Rightarrow \textbf{mínimo}, \quad f(-1) = \ln(1-3+3)+1 = \ln 1+1 = 1

x = 0: \ \text{de crecer a decrecer} \Rightarrow \textbf{máximo}, \quad f(0) = \ln 3-0 = \ln 3 \approx 1{,}10

\text{Mínimo } (-1,\, 1); \qquad \text{Máximo } (0,\, \ln 3)

b) La recta normal en $x = -2$ .

f(-2) = \ln(4-6+3)+2 = \ln 1+2 = 2

f'(-2) = \frac{-(-2)(-2+1)}{4-6+3} = \frac{2\cdot(-1)}{1} = -2

Pendiente de la normal:

m_{N} = -\frac{1}{f'(-2)} = -\frac{1}{-2} = \frac12

y-2 = \frac12\,(x+2) \;\Longrightarrow\; y = \frac{x}{2}+3

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Justifica el dominio al principio: el discriminante negativo garantiza que el argumento del logaritmo es siempre positivo. Sin eso, la función podría no estar definida en todo $\mathbb{R}$ .

Al derivar, une en una sola fracción: el denominador es positivo y el signo lo decide $-x(x+1)$ . Ese paso convierte el estudio de signos en algo trivial.

La normal tiene pendiente $-\frac{1}{f'(-2)} = \frac12$ , no $-f'(-2) = 2$ . Y aprovecha que $\ln 1 = 0$ : es lo que hace que $f(-1)$ y $f(-2)$ salgan exactos.