Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2011 · Reserva 6 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Sea

f\colon[1,+\infty)\to\mathbb{R}

la función definida por

f(x) = \sqrt{x-1}

Determina el punto

P

de la gráfica de

f

que se encuentra a menor distancia del punto

A(2,0)

. ¿Cuál es esa distancia?

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;P\bigl(x,\sqrt{x-1}\bigr), \quad d^{2}(x) = (x-2)^{2}+(x-1) = x^{2}-3x+3\;}

\boxed{\;\bigl(d^{2}\bigr)' = 2x-3 = 0 \Rightarrow x = \tfrac32 \quad \bigl((d^{2})'' = 2>0\bigr)\;}

\boxed{\;P\left(\frac32,\; \frac{\sqrt2}{2}\right)\;}

\boxed{\;d^{2} = \frac34 \;\Longrightarrow\; d = \frac{\sqrt3}{2} \approx 0{,}866\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Un punto genérico de la gráfica es

P\bigl(x,\sqrt{x-1}\bigr)

, con

x\geq1

. Su distancia a

A(2,0)

d(x) = \sqrt{(x-2)^{2}+\bigl(\sqrt{x-1}\bigr)^{2}}

El truco esencial: minimizar

d

equivale a minimizar

d^{2}

(la raíz es creciente), y

d^{2}

es un polinomio. Derivar una raíz aquí sería innecesariamente engorroso.

Y con la raíz al cuadrado,

\bigl(\sqrt{x-1}\bigr)^{2} = x-1

desaparece de golpe.

Desarrollo

El punto genérico y la distancia al cuadrado.

P\bigl(x,\; \sqrt{x-1}\bigr), \qquad x\geq1

d^{2}(x) = (x-2)^{2}+\bigl(\sqrt{x-1}\bigr)^{2} = (x-2)^{2}+(x-1)

= x^{2}-4x+4+x-1 = x^{2}-3x+3

¡Es una parábola! Con ramas hacia arriba, así que tiene un mínimo único.

Derivamos.

\bigl(d^{2}\bigr)'(x) = 2x-3 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac32

(Está en el dominio: $\frac32 \geq 1$ $\checkmark$ )

Es mínimo:

\bigl(d^{2}\bigr)''(x) = 2 > 0 \;\checkmark

El punto.

y = \sqrt{\frac32-1} = \sqrt{\frac12} = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2} \approx 0{,}707

P\left(\frac32,\; \frac{\sqrt2}{2}\right)

La distancia.

d^{2}\!\left(\frac32\right) = \frac94-\frac92+3 = \frac{9-18+12}{4} = \frac34

d = \sqrt{\frac34} = \frac{\sqrt3}{2} \approx 0{,}866

Comprobación directa.

\left(\frac32-2\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt2}{2}-0\right)^{2} = \frac14+\frac12 = \frac34 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Minimiza siempre el cuadrado de la distancia: tiene el mínimo en el mismo punto y evita derivar una raíz. Es el truco estándar de todos los problemas de "punto más cercano".

Aquí, además, $\bigl(\sqrt{x-1}\bigr)^{2} = x-1$ y todo se reduce a una parábola. Si te sale algo más complicado, revisa el desarrollo del cuadrado.

Comprueba que el punto crítico está dentro del dominio ( $x\geq1$ ). Si cayera fuera, el mínimo estaría en el extremo $x=1$ y la respuesta sería otra.