Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2023 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 1 (bloque A). Halla dos números mayores o iguales que

0

, cuya suma sea

1

, y el producto de uno de ellos por la raíz cuadrada del otro sea máximo.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Los números son } \frac{2}{3} \text{ y } \frac{1}{3}\;}

\boxed{\;\text{El producto máximo es } \frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9} \approx 0{,}385\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Optimización con ligadura, en su versión más limpia: la restricción

x + y = 1

permite eliminar una variable de inmediato.

El único punto delicado es el dominio: los dos números son

\geq 0

y suman

1

, así que

x \in [0, 1]

. Es un intervalo cerrado, de modo que hay que comparar el punto crítico con los dos extremos.

Y hay una ambigüedad aparente en "el producto de uno de ellos por la raíz cuadrada del otro": ¿cuál va dentro de la raíz? Se toma una de las dos opciones,

P = x\sqrt{y}

, y por simetría del planteamiento la otra da la pareja intercambiada.

Desarrollo

Planteamiento. Sean

x, y \geq 0

con

x + y = 1

. Maximizamos

P = x\sqrt{y}

Sustituyendo

y = 1 - x

P(x) = x\sqrt{1 - x}, \qquad x \in [0, 1]

Derivada.

P'(x) = \sqrt{1-x} + x\cdot\frac{-1}{2\sqrt{1-x}} = \frac{2(1-x) - x}{2\sqrt{1-x}} = \frac{2 - 3x}{2\sqrt{1-x}}

Punto crítico. El denominador es positivo en

(0,1)

, así que

P'(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; 2 - 3x = 0 \;\Longleftrightarrow\; x = \frac{2}{3}

Comprobación de que es máximo. El signo de

P'

es el de

2 - 3x

En $\left(0, \frac{2}{3}\right)$ : positivo, $P$ crece.
En $\left(\frac{2}{3}, 1\right)$ : negativo, $P$ decrece.

Luego

x = \frac{2}{3}

es un máximo. Y como en los extremos del intervalo

P(0) = 0, \qquad P(1) = 1\cdot\sqrt{0} = 0

ese máximo relativo es también absoluto.

Los dos números.

x = \frac{2}{3}, \qquad y = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

Valor máximo del producto.

P\!\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9} \approx 0{,}3849

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No pierdas de vista cuál de los dos números va dentro de la raíz. Si maximizas $\sqrt{x}\,y$ en lugar de $x\sqrt{y}$ obtienes la pareja al revés, $x = \frac{1}{3}$ e $y = \frac{2}{3}$ : la misma solución esencialmente, pero deja claro por escrito qué estás llamando $x$ y qué $y$ .

Y el dominio es $[0,1]$ , cerrado: los valores $x=0$ y $x=1$ están permitidos y hay que evaluarlos. Aquí los dos dan $P=0$ y no compiten, pero decirlo es lo que convierte tu "máximo relativo" en un "máximo absoluto" bien justificado.

Paso 1 de 3

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