Opción B · Ejercicio 2. Sean f,g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} las funciones definidas por f(x) = x^{2}-2x+3 \qquad \text{y} \qquad g(x) = \frac12 x^{2}+1 a) [1 punto] Esboza las gráficas de f y g, y halla su punto de corte. b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y el eje de ordenadas.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2010 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Sean

f,g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

las funciones definidas por

f(x) = x^{2}-2x+3 \qquad \text{y} \qquad g(x) = \frac12 x^{2}+1

a) [1 punto] Esboza las gráficas de

f

g

, y halla su punto de corte.

b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y el eje de ordenadas.

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Resultado

\boxed{\;f(x) = (x-1)^{2}+2 \text{ (vértice } (1,2)); \quad g \text{ vértice } (0,1)\;}

\boxed{\;f = g: \ (x-2)^{2} = 0 \Rightarrow \text{tangentes en } (2,\,3)\;}

\boxed{\;A = \int_{0}^{2}\left[\frac{x^{2}}{2}-2x+2\right]dx = \int_{0}^{2}\frac{(x-2)^{2}}{2}\,dx\;}

\boxed{\;A = \left[\frac{(x-2)^{3}}{6}\right]_{0}^{2} = \frac43 \approx 1{,}33 \ \text{u}^{2}\;}

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Estrategia

El enunciado dice "su punto de corte", en singular: es la pista de que al igualar sale una raíz doble, es decir, las dos parábolas son tangentes.

x^{2}-2x+3 = \frac{x^{2}}{2}+1 \;\Longrightarrow\; \frac{x^{2}}{2}-2x+2 = 0 \;\Longrightarrow\; (x-2)^{2} = 0

El recinto queda cerrado por el eje $OY$ (

x=0

) a la izquierda y por la tangencia en

x=2

a la derecha.

Desarrollo

a) Las gráficas.

$f(x) = x^{2}-2x+3 = (x-1)^{2}+2$ : parábola hacia arriba, vértice $(1,\,2)$ .
$g(x) = \frac12 x^{2}+1$ : parábola hacia arriba, más abierta, vértice $(0,\,1)$ .

El punto de corte.

x^{2}-2x+3 = \frac{x^{2}}{2}+1

\frac{x^{2}}{2}-2x+2 = 0 \;\Longrightarrow\; x^{2}-4x+4 = 0 \;\Longrightarrow\; (x-2)^{2} = 0

x = 2 \ \text{(doble)} \;\Longrightarrow\; \textbf{son tangentes en } (2,\,3)

(En efecto, $f(2) = 4-4+3 = 3$ y $g(2) = 2+1 = 3$ $\checkmark$ )

b) El área. ¿Quién va arriba? En

x = 0

f(0) = 3 \qquad > \qquad g(0) = 1

Y como solo se tocan en

x=2

, $f$ está por encima en todo $[0,2]$ .

Los vértices del recinto:

(0,3)

(0,1)

(2,3)

A = \int_{0}^{2}\bigl[f(x)-g(x)\bigr]dx = \int_{0}^{2}\left[\frac{x^{2}}{2}-2x+2\right]dx

El integrando es

\dfrac{(x-2)^{2}}{2}

A = \left[\frac{(x-2)^{3}}{6}\right]_{0}^{2} = 0-\frac{(-2)^{3}}{6} = \frac{8}{6} = \frac43

A = \frac43 \approx 1{,}33 \ \text{u}^{2}

Comprobación integrando término a término:

\left[\frac{x^{3}}{6}-x^{2}+2x\right]_{0}^{2} = \frac86-4+4 = \frac43 \;\checkmark

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Consejo

"Su punto de corte" (en singular) anticipa una raíz doble: las curvas son tangentes. Si te salieran dos cortes distintos, revisa las cuentas.

El recinto se cierra con el eje $OY$ : sin ese dato el área no estaría acotada por la izquierda. El límite inferior de la integral es $x = 0$ , no otro corte.

Reconocer que el integrando es $\frac{(x-2)^{2}}{2}$ hace la primitiva inmediata, pero integrar término a término da lo mismo. Hazlo de las dos formas si te sobra tiempo: es una comprobación.