Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2014 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Calcula

\int\frac{dx}{2x\bigl(x+\sqrt{x}\bigr)} \qquad \left(\text{Sugerencia: cambio de variable } t = \sqrt{x}\right)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;t = \sqrt x: \quad x = t^{2}, \ dx = 2t\,dt, \ 2x(x+\sqrt x) = 2t^{3}(t+1)\;}

\boxed{\;\int\frac{2t\,dt}{2t^{3}(t+1)} = \int\frac{dt}{t^{2}(t+1)} = \int\left[-\frac1t+\frac{1}{t^{2}}+\frac{1}{t+1}\right]dt\;}

\boxed{\;= \ln\left\lvert\frac{t+1}{t}\right\rvert-\frac1t+C = \ln\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x}-\frac{1}{\sqrt x}+C\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cambio de variable irracional. Hay que traducir todo:

t = \sqrt{x} \;\Longrightarrow\; x = t^{2}, \quad dx = 2t\,dt

Con eso, el denominador se factoriza en potencias de

t

2x\bigl(x+\sqrt x\bigr) = 2t^{2}\bigl(t^{2}+t\bigr) = 2t^{3}\,(t+1)

Tras simplificar queda una racional con una raíz doble en

t=0

, así que la descomposición en fracciones simples lleva tres términos:

\frac{A}{t}

\frac{B}{t^{2}}

\frac{C}{t+1}

Desarrollo

El cambio de variable.

t = \sqrt{x} \;\;(t>0) \;\Longrightarrow\; x = t^{2}, \quad dx = 2t\,dt

Sustituyendo.

\int\frac{dx}{2x\bigl(x+\sqrt x\bigr)} = \int\frac{2t\,dt}{2t^{2}\bigl(t^{2}+t\bigr)} = \int\frac{2t\,dt}{2t^{3}(t+1)} = \int\frac{dt}{t^{2}\,(t+1)}

Fracciones simples. Con la raíz doble en

t=0

\frac{1}{t^{2}(t+1)} = \frac{A}{t}+\frac{B}{t^{2}}+\frac{C}{t+1} \;\Longrightarrow\; 1 = A\,t\,(t+1)+B\,(t+1)+C\,t^{2}

t = 0: \quad 1 = B \;\Longrightarrow\; B = 1

t = -1: \quad 1 = C \;\Longrightarrow\; C = 1

Coeficiente de $t^{2}$ :

\;0 = A+C \;\Longrightarrow\; A = -1

\frac{1}{t^{2}(t+1)} = -\frac{1}{t}+\frac{1}{t^{2}}+\frac{1}{t+1}

Integrando.

\int\left[-\frac1t+\frac{1}{t^{2}}+\frac{1}{t+1}\right]dt = -\ln\lvert t\rvert-\frac1t+\ln\lvert t+1\rvert+C = \ln\left\lvert\frac{t+1}{t}\right\rvert-\frac{1}{t}+C

Deshaciendo el cambio. Con

t = \sqrt x > 0

\int\frac{dx}{2x\bigl(x+\sqrt x\bigr)} = \ln\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x}-\frac{1}{\sqrt x}+C

Comprobación (derivando en $t$ , que es más rápido).

\frac{d}{dt}\left[\ln(t+1)-\ln t-\frac1t\right] = \frac{1}{t+1}-\frac1t+\frac{1}{t^{2}}

= \frac{t^{2}-t\,(t+1)+(t+1)}{t^{2}(t+1)} = \frac{t^{2}-t^{2}-t+t+1}{t^{2}(t+1)} = \frac{1}{t^{2}(t+1)} \quad \checkmark

que es exactamente el integrando tras el cambio.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Traduce las tres piezas: $x = t^{2}$ , la raíz $\sqrt x = t$ y el diferencial $dx = 2t\,dt$ . Ese $2t$ es el que cancela un grado del denominador y deja la racional manejable.

El factor $t^{2}$ del denominador es una raíz doble: hacen falta $\frac{A}{t}$ y $\frac{B}{t^{2}}$ . Con una sola fracción la identidad no puede cumplirse.

Comprueba derivando en la variable $t$ , antes de deshacer el cambio: es mucho más rápido y detecta igual de bien cualquier error. Y no olvides volver a $x$ en la respuesta final.