Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2020 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 1. Considera la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

dada por

f(x) = e^{x}\,(x^{2} - 5x + 6)

. Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de

f

y los puntos de inflexión de su gráfica.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f''(x) = e^{x}(x+1)(x-2)\;}

\boxed{\;\text{Convexa en } (-\infty,-1)\cup(2,+\infty); \quad \text{cóncava en } (-1,2)\;}

\boxed{\;\text{Inflexiones: } \left(-1,\tfrac{12}{e}\right) \text{ y } (2, 0)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Curvatura

\Rightarrow

derivada segunda. Hay que derivar dos veces un producto, y aquí ocurre algo muy típico de las funciones

e^{x}\cdot P(x)

: al derivar, la exponencial sale siempre como factor común y solo cambia el polinomio que la acompaña.

Como

e^{x} > 0

para todo

x

, el signo de

f''

es exactamente el signo de ese polinomio: basta factorizarlo y hacer la tabla de signos. Los puntos donde

f''

cambia de signo son las inflexiones.

Desarrollo

Primera derivada. Regla del producto:

f'(x) = e^{x}\,(x^{2} - 5x + 6) + e^{x}\,(2x - 5) = e^{x}\,\bigl(x^{2} - 3x + 1\bigr)

Segunda derivada. Otra vez el producto:

f''(x) = e^{x}\,(x^{2} - 3x + 1) + e^{x}\,(2x - 3) = e^{x}\,\bigl(x^{2} - x - 2\bigr)

Factorización.

x^{2} - x - 2 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{1\pm\sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1\pm 3}{2} \;\Longrightarrow\; x = -1,\; x = 2

f''(x) = e^{x}\,(x + 1)(x - 2)

Signo de $f''$ . Como

e^{x} > 0

siempre, el signo lo marca

(x+1)(x-2)

\begin{array}{c|c|c|c|c} \text{Intervalo} & (x+1) & (x-2) & f'' & \text{Curvatura} \\ \hline (-\infty, -1) & - & - & + & \text{convexa } \cup \\ (-1, 2) & + & - & - & \text{cóncava } \cap \\ (2, +\infty) & + & + & + & \text{convexa } \cup\end{array}

\text{Convexa } (f'' > 0) \text{ en } (-\infty, -1)\cup(2, +\infty); \qquad \text{cóncava } (f'' < 0) \text{ en } (-1, 2)

Puntos de inflexión. En

x = -1

x = 2

hay cambio de signo de

f''

, luego ambos lo son. Sus ordenadas:

f(-1) = e^{-1}\bigl(1 + 5 + 6\bigr) = \frac{12}{e} \approx 4{,}41

f(2) = e^{2}\bigl(4 - 10 + 6\bigr) = e^{2}\cdot 0 = 0

\text{Inflexiones: } \left(-1,\; \frac{12}{e}\right) \quad \text{y} \quad (2,\, 0)

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Consejo

Al derivar $e^{x}\cdot P(x)$ saca siempre $e^{x}$ como factor común: el resultado es $e^{x}\bigl(P(x) + P'(x)\bigr)$ , y con eso la segunda derivada sale en dos líneas. Si desarrollas los productos término a término, el polinomio se hace enorme y aparecen errores de signo.

El factor $e^{x}$ nunca se anula ni cambia de signo: no aporta raíces ni intervalos. Toda la curvatura está en el polinomio. Y no olvides calcular las ordenadas de las inflexiones: se pide "los puntos", no solo las abscisas.