Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2024 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 4 (bloque B). Calcula

\int \frac{dx}{\sqrt{4 + 4e^{x}}}

(Sugerencia: efectúa el cambio de variable $t = \sqrt{1+e^{x}}$ .)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\int \frac{dx}{\sqrt{4+4e^{x}}} = \frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{\sqrt{1+e^{x}} - 1}{\sqrt{1+e^{x}} + 1}\right) + C\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo primero es sacar el $4$ de la raíz:

\sqrt{4+4e^{x}} = \sqrt{4\bigl(1+e^{x}\bigr)} = 2\sqrt{1+e^{x}} = 2t

con lo que el cambio sugerido encaja de forma natural. Después hay que despejar

dx

con cuidado: de

t^{2} = 1+e^{x}

sale

e^{x} = t^{2}-1

y, derivando,

2t\,dt = e^{x}dx

, luego

dx = \frac{2t\,dt}{t^{2}-1}

Al sustituir, la

2t

se cancela con el

2t

del denominador y queda

\int\frac{dt}{t^{2}-1}

: una racional con denominador factorizable, que se resuelve con fracciones simples.

Desarrollo

Paso 1: simplificar la raíz.

\sqrt{4+4e^{x}} = 2\sqrt{1+e^{x}}

Paso 2: el cambio de variable. Con

t = \sqrt{1+e^{x}}

(que cumple

t>1

, porque

e^{x}>0

t^{2} = 1 + e^{x} \;\Longrightarrow\; e^{x} = t^{2}-1 \;\Longrightarrow\; 2t\,dt = e^{x}\,dx = \bigl(t^{2}-1\bigr)dx \;\Longrightarrow\; dx = \frac{2t\,dt}{t^{2}-1}

Paso 3: sustituir.

\int \frac{dx}{2\sqrt{1+e^{x}}} = \int \frac{1}{2t}\cdot\frac{2t\,dt}{t^{2}-1} = \int \frac{dt}{t^{2}-1}

Paso 4: fracciones simples. Como

t^{2}-1 = (t-1)(t+1)

\frac{1}{(t-1)(t+1)} = \frac{A}{t-1} + \frac{B}{t+1} \;\Longrightarrow\; 1 = A(t+1) + B(t-1)

t = 1: \ 1 = 2A \;\Longrightarrow\; A = \frac{1}{2} \qquad\qquad t = -1: \ 1 = -2B \;\Longrightarrow\; B = -\frac{1}{2}

\int \frac{dt}{t^{2}-1} = \frac{1}{2}\ln|t-1| - \frac{1}{2}\ln|t+1| + C = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right| + C

Paso 5: deshacer el cambio. Con

t = \sqrt{1+e^{x}} > 1

, los dos argumentos son positivos y se puede quitar el valor absoluto:

\int \frac{dx}{\sqrt{4+4e^{x}}} = \frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{\sqrt{1+e^{x}} - 1}{\sqrt{1+e^{x}} + 1}\right) + C

Comprobación. Llamando

t = \sqrt{1+e^{x}}

, se tiene

\dfrac{dt}{dx} = \dfrac{e^{x}}{2\sqrt{1+e^{x}}} = \dfrac{e^{x}}{2t}

, y

\frac{d}{dt}\left[\frac{1}{2}\ln\frac{t-1}{t+1}\right] = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1}\right) = \frac{1}{t^{2}-1} = \frac{1}{e^{x}}

Por la regla de la cadena, la derivada respecto de

x

\frac{1}{e^{x}}\cdot\frac{e^{x}}{2t} = \frac{1}{2t} = \frac{1}{2\sqrt{1+e^{x}}} = \frac{1}{\sqrt{4+4e^{x}}}

como debía ser.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Saca el $4$ de la raíz antes de nada: $\sqrt{4+4e^{x}} = 2\sqrt{1+e^{x}}$ . Es lo que hace que el cambio sugerido encaje y que el $2t$ se cancele. Si no lo haces, el cambio no simplifica nada y parece que la sugerencia está mal.

Y despeja $dx$ con cuidado: de $2t\,dt = e^{x}dx$ hay que sustituir $e^{x} = t^{2}-1$ para que en $dx$ no quede ninguna $x$ . Dejar $dx = \frac{2t\,dt}{e^{x}}$ es el error que impide terminar el cambio de variable.