Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2010 · Junio · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Calcula

\int_{0}^{\pi^{2}} \operatorname{sen}\bigl(\sqrt x\bigr)\,dx

Sugerencia: efectúa el cambio $\sqrt x = t$ .

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\sqrt x = t \;\Longrightarrow\; x = t^{2}, \ dx = 2t\,dt; \quad x\!:\,0\to\pi^{2} \ \Rightarrow \ t\!:\,0\to\pi\;}

\boxed{\;I = 2\int_{0}^{\pi} t\operatorname{sen} t\,dt\;}

\boxed{\;\int t\operatorname{sen} t\,dt = -t\cos t+\operatorname{sen} t \quad (u = t, \ dv = \operatorname{sen} t\,dt)\;}

\boxed{\;I = 2\Bigl[-t\cos t+\operatorname{sen} t\Bigr]_{0}^{\pi} = 2\pi \approx 6{,}28\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cambio de variable más integración por partes: es una integral de dos pasos.

\sqrt x = t \;\Longrightarrow\; x = t^{2} \;\Longrightarrow\; dx = 2t\,dt

Los límites también cambian (así evitas deshacer el cambio al final):

x = 0 \;\Rightarrow\; t = 0 \qquad x = \pi^{2} \;\Rightarrow\; t = \sqrt{\pi^{2}} = \pi

Queda

\;2\displaystyle\int_{0}^{\pi} t\operatorname{sen} t\,dt

, que se hace por partes con

u = t

Desarrollo

El cambio de variable.

\sqrt x = t \;\Longrightarrow\; x = t^{2}, \quad dx = 2t\,dt

\int_{0}^{\pi^{2}}\operatorname{sen}\bigl(\sqrt x\bigr)dx = \int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(t)\cdot 2t\,dt = 2\int_{0}^{\pi} t\operatorname{sen} t\,dt

Por partes. Con

u = t

\;dv = \operatorname{sen} t\,dt

du = dt \qquad v = -\cos t

\int t\operatorname{sen} t\,dt = -t\cos t+\int\cos t\,dt = -t\cos t+\operatorname{sen} t

Comprobación (derivando):

\bigl(-t\cos t+\operatorname{sen} t\bigr)' = -\cos t+t\operatorname{sen} t+\cos t = t\operatorname{sen} t \;\checkmark

Regla de Barrow.

2\Bigl[-t\cos t+\operatorname{sen} t\Bigr]_{0}^{\pi}

En $t = \pi$ (

\cos\pi = -1

\operatorname{sen}\pi = 0

-\pi\cdot(-1)+0 = \pi

En $t = 0$ (

\cos0 = 1

\operatorname{sen}0 = 0

-0\cdot1+0 = 0

\int_{0}^{\pi^{2}}\operatorname{sen}\bigl(\sqrt x\bigr)dx = 2\,(\pi-0) = 2\pi \approx 6{,}28

(El resultado es positivo, como debe ser: en $\bigl(0,\pi^{2}\bigr)$ se tiene $0<\sqrt x<\pi$ , donde el seno es positivo.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En una integral definida, cambia también los límites: pasar de $[0,\pi^{2}]$ en $x$ a $[0,\pi]$ en $t$ te ahorra deshacer el cambio al final.

No olvides el factor $dx = 2t\,dt$ . Es lo que convierte $\operatorname{sen} t$ en $2t\operatorname{sen} t$ y obliga a integrar por partes; sin él el resultado sería otro.

$\int\operatorname{sen} t\,dt = -\cos t$ : ese signo, combinado con el $-t\cos t$ de las partes, es donde se concentran los errores. Comprueba derivando la primitiva antes de aplicar Barrow.