Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2008 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] De entre todos los rectángulos de perímetro $8\ \text{cm}$ , determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;2(x+y) = 8 \;\Longrightarrow\; y = 4-x\;}

\boxed{\;d^{2}(x) = x^{2}+(4-x)^{2} = 2x^{2}-8x+16\;}

\boxed{\;\bigl(d^{2}\bigr)' = 4x-8 = 0 \Rightarrow x = 2 \quad \bigl((d^{2})'' = 4>0\bigr)\;}

\boxed{\;\text{Cuadrado de lado } 2\ \text{cm}, \quad d_{\min} = 2\sqrt2 \approx 2{,}83\ \text{cm}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Si los lados son

x

y

, la ligadura es el perímetro:

2\,(x+y) = 8 \;\Longrightarrow\; x+y = 4 \;\Longrightarrow\; y = 4-x

y la diagonal mide

d = \sqrt{x^{2}+y^{2}}

.

Truco esencial: minimizar

d

equivale a minimizar

d^{2}

(la raíz es creciente), y

d^{2}

es una parábola en

x

, sin raíces que derivar.

Desarrollo

La función a minimizar.

d^{2}(x) = x^{2}+y^{2} = x^{2}+(4-x)^{2}, \qquad 0<x<4

= x^{2}+16-8x+x^{2} = 2x^{2}-8x+16

Derivamos.

\bigl(d^{2}\bigr)'(x) = 4x-8 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 2

Es mínimo:

\bigl(d^{2}\bigr)''(x) = 4 > 0 \;\checkmark

Las dimensiones.

y = 4-2 = 2

\textbf{El rectángulo es un cuadrado de lado } 2\ \text{cm}

La diagonal.

d = \sqrt{4+4} = \sqrt8 = 2\sqrt2 \approx 2{,}83 \ \text{cm}

Comprobación del perímetro:

\;2\,(2+2) = 8\ \text{cm}

\;\checkmark

(Control de coherencia: con el perímetro fijo, el cuadrado minimiza la diagonal y maximiza el área. Si te salen lados distintos, revisa.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Minimiza el cuadrado de la diagonal: tiene el mínimo en el mismo punto y evita derivar una raíz. Es el truco estándar de todos los problemas de distancia.

Que el óptimo sea el cuadrado es el control de calidad: con el perímetro fijo, el cuadrado es el rectángulo de diagonal mínima (y de área máxima).

Indica el dominio $0<x<4$ : fuera de él el otro lado sería negativo y el problema no tendría sentido geométrico.