Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2008 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Dadas las funciones

f,g\colon[0,+\infty)\to\mathbb{R}

definidas por

f(x) = \sqrt x \qquad \text{y} \qquad g(x) = \sqrt[3]{x}

calcula el área del recinto limitado por las gráficas de

f

g

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f = x^{1/2}, \ g = x^{1/3}; \quad x^{1/2} = x^{1/3} \Rightarrow x^{2}(x-1) = 0\;}

\boxed{\;\text{Cortes } (0,0) \text{ y } (1,1); \ \text{arriba va } g \text{ en } (0,1)\;}

\boxed{\;A = \int_{0}^{1}\bigl[x^{1/3}-x^{1/2}\bigr]dx = \left[\tfrac34 x^{4/3}-\tfrac23 x^{3/2}\right]_{0}^{1}\;}

\boxed{\;A = \frac34-\frac23 = \frac{1}{12} \approx 0{,}083 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Escribe las dos raíces como potencias:

\;f(x) = x^{1/2}

\;g(x) = x^{1/3}

.

Al igualarlas,

x^{1/2} = x^{1/3} \;\Longrightarrow\; x^{1/2-1/3} = x^{1/6} = 1 \;\Longrightarrow\; x = 1

(más el corte trivial

x = 0

). Y entre

0

1

la raíz cúbica va por encima: para

0<x<1

, elevar a un exponente menor da un número mayor.

Desarrollo

Los puntos de corte.

\sqrt x = \sqrt[3]{x} \;\Longrightarrow\; x^{1/2} = x^{1/3}

Elevando a la sexta (o dividiendo, para

x>0

x^{3} = x^{2} \;\Longrightarrow\; x^{2}\,(x-1) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0 \quad \text{o} \quad x = 1

\text{Cortes: } (0,\,0) \qquad \text{y} \qquad (1,\,1)

¿Quién va arriba? En

x = \dfrac{1}{64}

f\!\left(\frac{1}{64}\right) = \frac18 = 0{,}125 \qquad g\!\left(\frac{1}{64}\right) = \frac14 = 0{,}25

La raíz cúbica está por encima en todo

(0,1)

.

El área.

A = \int_{0}^{1}\left[x^{1/3}-x^{1/2}\right]dx = \left[\frac{x^{4/3}}{\tfrac43}-\frac{x^{3/2}}{\tfrac32}\right]_{0}^{1} = \left[\frac34 x^{4/3}-\frac23 x^{3/2}\right]_{0}^{1}

En $x = 1$ (ambas potencias valen

1

\frac34-\frac23 = \frac{9-8}{12} = \frac{1}{12}

A = \frac{1}{12} \approx 0{,}083 \ \text{u}^{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Escribe las raíces como potencias fraccionarias antes de integrar: la regla $\int x^{n}dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ funciona igual con exponentes racionales.

Entre $0$ y $1$ , cuanto menor es el exponente, mayor es el valor: por eso $\sqrt[3]{x} > \sqrt x$ en ese tramo (y al revés para $x>1$ ). Conviene comprobarlo con un valor concreto.

El área sale muy pequeña ( $\frac{1}{12}$ ): es normal, porque las dos curvas están muy juntas en $[0,1]$ y solo se separan un poco. No sospeches de un error por eso.