Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2008 · Reserva 6 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Sea

g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

la función definida por

g(x) = \frac14 x^{3}-x^{2}+x

a) [0,5 puntos] Esboza la gráfica de

g

.

b) [0,75 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

g

en el punto de abscisa

x = 2

.

c) [1,25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de

g

y el eje de abscisas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;g(x) = \frac{x\,(x-2)^{2}}{4}: \ \text{cortes } x = 0 \text{ y } x = 2 \text{ (doble)}\;}

\boxed{\;g'(x) = \frac{(x-2)(3x-2)}{4}: \ \text{máx. en } \left(\tfrac23,\tfrac{8}{27}\right), \ \text{mín. en } (2,0)\;}

\boxed{\;\text{b) } g(2) = 0, \ g'(2) = 0 \;\Longrightarrow\; \text{tangente } y = 0\;}

\boxed{\;\text{c) } A = \int_{0}^{2}\left[\frac{x^{3}}{4}-x^{2}+x\right]dx = \frac13\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El primer movimiento lo resuelve casi todo: factorizar.

g(x) = \frac{x^{3}-4x^{2}+4x}{4} = \frac{x\,(x-2)^{2}}{4}

La raíz doble en

x = 2

significa que la gráfica toca el eje

X

allí sin cruzarlo: la tangente en

x=2

es el propio eje (

y = 0

), y el recinto acotado va de

x=0

x=2

Desarrollo

a) La gráfica.

g(x) = \frac{x\,(x-2)^{2}}{4}

Cortes con el eje $X$ :

\;x = 0

(simple) y

x = 2

(doble).

Los puntos críticos.

g'(x) = \frac{3x^{2}}{4}-2x+1 = \frac{3x^{2}-8x+4}{4} = \frac{(x-2)(3x-2)}{4}

g'(x) = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac23 \quad \text{o} \quad x = 2

g\!\left(\frac23\right) = \frac{\tfrac23\left(\tfrac23-2\right)^{2}}{4} = \frac{\tfrac23\cdot\tfrac{16}{9}}{4} = \frac{8}{27} \approx 0{,}30 \quad \textbf{(máximo relativo)}

g(2) = 0 \quad \textbf{(mínimo relativo)}

b) La recta tangente en $x = 2$ .

g(2) = 0 \qquad g'(2) = \frac{(2-2)(6-2)}{4} = 0

y-0 = 0\cdot(x-2) \;\Longrightarrow\; \boxed{y = 0}

La tangente es el propio eje de abscisas (coherente con la raíz doble).

c) El área. El recinto acotado entre la gráfica y el eje

X

está entre los cortes

x = 0

x = 2

, donde

g(x) = \frac{x\,(x-2)^{2}}{4} \geq 0

A = \int_{0}^{2}\left[\frac{x^{3}}{4}-x^{2}+x\right]dx = \left[\frac{x^{4}}{16}-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2}

En $x = 2$ :

\frac{16}{16}-\frac83+\frac42 = 1-\frac83+2 = 3-\frac83 = \frac{9-8}{3} = \frac13

A = \frac13 \approx 0{,}33 \ \text{u}^{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Factoriza primero. Ver $g(x) = \frac{x(x-2)^{2}}{4}$ da a la vez los cortes, el signo y la pista de que en $x=2$ la tangente es horizontal.

Una raíz doble significa que la curva toca el eje sin cruzarlo. Por eso el recinto acotado es solo $[0,2]$ y $g\geq0$ en todo él.

En c) no hay que preocuparse por cambios de signo: $g\geq0$ en $[0,2]$ , así que la integral es el área. Conviene decirlo explícitamente.