Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2021 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 3 (bloque A). Considera la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = e^{x}

.

a) [1,25 puntos] Calcula

a

para que la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto

\bigl(a, f(a)\bigr)

pase por el origen de coordenadas.

b) [1,25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de

f

, la recta tangente a la misma en el punto

\bigl(1, f(1)\bigr)

y el eje de ordenadas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad -e^{a} = -a\,e^{a} \;\Longrightarrow\; a = 1, \quad \text{y la tangente es } y = e\,x\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad A = \int_{0}^{1}\bigl(e^{x} - e\,x\bigr)dx = \frac{e}{2} - 1 \approx 0{,}36 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) se escribe la tangente genérica en

x = a

y se impone que el punto

(0,0)

la satisfaga. Sale una ecuación con

e^{a}

como factor común, y como la exponencial nunca se anula, se puede dividir por ella: queda una ecuación de primer grado.

En b) la tangente es la del apartado anterior con

a = 1

, es decir

y = ex

. La clave es que

e^{x} \geq ex

para todo $x$ , con igualdad solo en

x = 1

(la recta es tangente, así que toca la curva sin cruzarla). Por tanto la curva está siempre por encima y el recinto queda entre

x = 0

(el eje

OY

) y

x = 1

(el punto de tangencia).

Desarrollo

a) Recta tangente genérica. Como

f'(x) = e^{x}

, la tangente en

\bigl(a, e^{a}\bigr)

y - e^{a} = e^{a}\,(x - a)

Imponiendo que pase por el origen

(0,0)

0 - e^{a} = e^{a}\,(0 - a) \;\Longrightarrow\; -e^{a} = -a\,e^{a}

Dividiendo entre

e^{a}

(que nunca es cero):

-1 = -a \;\Longrightarrow\; a = 1

(Con $a = 1$ la tangente es $y - e = e(x-1)$ , es decir $y = ex$ , que efectivamente pasa por el origen.)

b) El recinto. La recta tangente en

\bigl(1, f(1)\bigr) = (1, e)

es la que acabamos de hallar:

t \equiv y = e\,x

Posición relativa. La función

h(x) = e^{x} - ex

cumple

h'(x) = e^{x} - e = 0 \;\Longleftrightarrow\; x = 1, \qquad h''(x) = e^{x} > 0

luego

h

tiene un mínimo absoluto en

x=1

, con

h(1) = e - e = 0

. Por tanto

e^{x} \geq e\,x \quad \text{para todo } x, \quad \text{con igualdad solo en } x = 1

La curva está por encima de la recta en todas partes salvo en el punto de tangencia. El recinto queda limitado a la izquierda por el eje

OY

(

x=0

) y se cierra por la derecha en

x = 1

, donde curva y recta se tocan.

Área.

A = \int_{0}^{1}\bigl(e^{x} - e\,x\bigr)dx = \left[e^{x} - \frac{e\,x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}

= \left(e - \frac{e}{2}\right) - \bigl(1 - 0\bigr) = \frac{e}{2} - 1

A = \frac{e}{2} - 1 \approx 1{,}359 - 1 = 0{,}359 \ \text{unidades cuadradas}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a), divide entre $e^{a}$ con tranquilidad: la exponencial nunca vale cero, así que no se pierde ninguna solución. Es la simplificación que convierte una ecuación con exponenciales en una de primer grado.

En b), el límite derecho del recinto no lo da el enunciado: es el punto de tangencia $x=1$ , donde la curva y la recta se juntan. Y como la recta es tangente, la diferencia $e^{x} - ex$ tiene ahí un mínimo con valor $0$ : no cambia de signo, así que no hay que partir la integral ni preocuparse por valores absolutos.