Opción A · Ejercicio 2. Sean f,g : \mathbb{R}\to\mathbb{R} las funciones definidas por f(x) = \mathrm{sen}(x) y g(x) = \cos(x) respectivamente. a) [0,75 puntos] Realiza un esbozo de las gráficas de f y g en el intervalo \left[0,\; \dfrac{\pi}{2}\right]. b) [1,75 puntos] Calcula el área total de los recintos limitados por ambas gráficas y las rectas x = 0 y x = \dfrac{\pi}{2}.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2012 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. Sean

f,g : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

las funciones definidas por

f(x) = \mathrm{sen}(x)

g(x) = \cos(x)

respectivamente.

a) [0,75 puntos] Realiza un esbozo de las gráficas de

f

g

en el intervalo

\left[0,\; \dfrac{\pi}{2}\right]

.

b) [1,75 puntos] Calcula el área total de los recintos limitados por ambas gráficas y las rectas

x = 0

x = \dfrac{\pi}{2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\mathrm{sen}\,x = \cos x \;\Longrightarrow\; x = \frac\pi4 \quad \left(\text{valor } \tfrac{\sqrt2}{2}\right)\;}

\boxed{\;\int_{0}^{\pi/4}(\cos x-\mathrm{sen}\,x)dx = \bigl[\mathrm{sen}\,x+\cos x\bigr]_{0}^{\pi/4} = \sqrt2-1\;}

\boxed{\;\int_{\pi/4}^{\pi/2}(\mathrm{sen}\,x-\cos x)dx = \bigl[-\cos x-\mathrm{sen}\,x\bigr]_{\pi/4}^{\pi/2} = \sqrt2-1\;}

\boxed{\;A = 2\bigl(\sqrt2-1\bigr) = 2\sqrt2-2 \approx 0{,}83 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

\left[0,\frac\pi2\right]

las dos curvas se cruzan una vez, en

x = \frac\pi4

, y ahí cambia quién va por encima:

en $\left[0,\frac\pi4\right)$ : $\;\cos x > \mathrm{sen}\,x$ ,
en $\left(\frac\pi4,\frac\pi2\right]$ : $\;\mathrm{sen}\,x > \cos x$ .

Por eso el enunciado habla de recintos en plural y de área total: hay que partir la integral en

x=\frac\pi4

y sumar los dos valores absolutos.

Desarrollo

a) Las gráficas. En

\left[0,\frac\pi2\right]

\mathrm{sen}\,x

crece de

0

1

\cos x

decrece de

1

0

. Se cortan en el punto donde coinciden:

\mathrm{sen}\,x = \cos x \;\Longrightarrow\; \mathrm{tg}\,x = 1 \;\Longrightarrow\; x = \frac{\pi}{4} \qquad \left(\text{valor común } \frac{\sqrt2}{2}\right)

Junto con las rectas verticales

x=0

x=\frac\pi2

quedan dos recintos, simétricos respecto de

x=\frac\pi4

.

b) El área.

A = \int_{0}^{\pi/4}\bigl(\cos x-\mathrm{sen}\,x\bigr)dx+\int_{\pi/4}^{\pi/2}\bigl(\mathrm{sen}\,x-\cos x\bigr)dx

Primer recinto.

\Bigl[\mathrm{sen}\,x+\cos x\Bigr]_{0}^{\pi/4} = \left(\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\right)-\bigl(0+1\bigr) = \sqrt2-1

Segundo recinto.

\Bigl[-\cos x-\mathrm{sen}\,x\Bigr]_{\pi/4}^{\pi/2} = \bigl(0-1\bigr)-\left(-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\right) = -1+\sqrt2 = \sqrt2-1

(Coinciden, como cabía esperar por la simetría.)

El área total.

A = 2\,\bigl(\sqrt2-1\bigr) = 2\sqrt2-2 \approx 0{,}83 \ \text{u}^{2}

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Consejo

"Área total de los recintos" (en plural) es la pista: hay más de uno, así que hay que partir la integral en el corte $x=\frac\pi4$ y sumar los dos valores positivos.

Si integras $\cos x-\mathrm{sen}\,x$ de golpe en todo $\left[0,\frac\pi2\right]$ obtienes $0$ : los dos trozos se cancelan. Ese $0$ es la señal inequívoca de que había que partir.

Los dos recintos son iguales por simetría respecto de $x=\frac\pi4$ . Comprobarlo sirve de verificación y permite calcular solo uno y duplicar.